【科普】经典力学中的变分法（物理吧版）
经典力学中的变分法，这个标题对于初学者来说可能足够吓人，但是其内涵是很清楚的，而且并不难理解。

我们都知道，一个粒子从A点运动到B点，原则上可以选取无穷多种路径，但事实上宏观粒子只会选择一个路径来走，这一点与量子力学的费曼路径积分不同（路径积分是说，粒子实际走过所有路径，但是在走向宏观的路上，依靠相位差来消去相位差较大的路径，从而得到宏观的那一条路径）。

如果你将宏观的真实路径稍微变一下，譬如说，真实路径的坐标是x，你将它变一下，增加一个量：
x+δx
就叫做对坐标x的变分。

其实就是将路径的曲线稍微“拨弄”了一下。

变分算符δ和微分算符d的运算法则完全一样，现在我们来讨论一下，在计算中，δ与求导符号d/dt到底是否可以互换：
δ(dx/dt)=(δ(dx)dt-dxδ(dt))/〖dt〗^2
=δ(dx)/dt-dxδ(dt)/〖dt〗^2
=d(δx)/dt-dxd(δt)/〖dt〗^2
如果δ与d/dt可以互换，就必须有：
δ(dx/dt)=d(δx)/dt
但是我们看到，δ(dx/dt)等于d(δx)/dt还要再减去一项dxd(δt)/〖dt〗^2，这就是说，一般情况下，δ与d/dt不满足互换的条件！那么怎样才能满足它呢？我们只需要多余的一项等于0：
dxd(δt)/〖dt〗^2=0
那么也就只能有：
δt=0
因为我们不可能要求dx或dt总是等于0，所以只要选择δt=0。

这就是说，一旦确定了运动起点的时间，运动终点的时间也就确定了，所以在这里，时间t根本没有变分的余地！每走过一条路径（不论是真是假）所花费的时间都是相同的！这叫做“等时变分”。

通过一般的物理系理论力学教程我们知道，引入拉格朗日函数L=T-V，并利用等时变分：
δ∫Ldt=0……哈密顿原理
我们可以得到拉格朗日方程：
d/dt(∂L/(∂q`))-∂L/∂q=0
这是与牛顿方程等价的方程。

我们所讨论的是等时变分，对于不等时变分，它也不是没有用处。

譬如，莫培督最小作用量原理与哈密顿原理就不同，莫培督原理是“等能量变分”。

莫培督构造作用量：
S=∫2Tdt
其实，它也是：
S=∫(T+V)+(T-V)dt
=∫[(机械能)+L]dt
取变分：
δS=δ∫[(机械能)+L]dt
=∫δ(机械能)dt+∫δLdt=0
由于是等能量变分，每条轨道的机械能都相等，所以δ(机械能)=0，我们有：
δS=δ∫Ldt=0
虽然形式类似，但这还不是哈密顿原理。

我们还需要加上“等时变分”条件，即δt=0的条件，才能由此再推出拉格朗日方程。

莫培督原理的用处并不仅在于退化为哈密顿原理，它可以推导出光学的费马定理：光沿着光程最小的路径传播。

为此，我们将S=∫2Tdt改写成：
S=∫mvds=∫pds……（∵2Tdt=mv^2dt=mvds,p是动量）
由此我们实现了作用量的几何化。

由于量子力学中的波粒二象性：
p=h/λ
我们有：
S=∫pds
=∫hds/λ
=h/λ0∫(λ0/λ)ds
其中λ0为在真空中的波长，λ为在介质中的波长，由于光波的频率ν确定，所以：
S=h/λ0∫(c/u)ds……（c是光在真空中的速度，u是在介质中的速度）
=h/λ0∫nds……（折射率n=c/u）
取变分：
δS=(h/λ0)δ∫nds=0
即：
δ∫nds=0
这就是光学中的费马定理。