湖南省长沙市宁乡县2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框，现在有长度分别为2cm、3cm、8cm、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择()A. 2cmB. 3cmC. 8cmD. 15cm3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，直角边AC的长为2 cm，则斜边AB长为()a=1 B. 1a=1 C. 4a=1 D. 2a=1A. 124.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是()边形．A. 7B. 6C. 5D. 45.已知等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是()A. 50°B. 65°C. 75°D. 80°6.如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是()A. BC=AD，∠ABC=∠BADB. BC=AD，AC=BDC. AC=BD，∠CAB=∠DBAD. BC=AD，∠CAB=∠DBA7.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=()A. 7B. 8C. 9D.108.如图，在三角形纸片ABC中，AB=9cm，BC=8cm，AC=5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为()A. 5cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm9.等腰三角形的周长为14，且边长为整数，则腰与底边分别为()A. 3和8B. 4和6C. 6和2D. 4和6或者6和2二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）10.如图，木工师傅做好一门框后钉上木条AB、CD，使门框不变形，这种做法的数学原理是．11.计算：a5⋅a3⋅a=______ ．12.已知A(1,−2)与点B关于y轴对称．则点B的坐标是______ ．13.12.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠B=50°，∠ACD=120°，则∠A=_________14.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是______．15.如图，已知AB//CD，∠A=49°，∠C=27°，则∠E的度数为______．16.如图，AB=DC，请补充一个条件______ ，使△BAD≌△DCB．17.定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为_______．18.若∠BAC=30°，AP平分∠BAC，PD//AC，且PD=6，PE⊥AC，则PE=______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF.求证：△ADF≌△BCE．20.如图，点D，C在BF上，AB//EF，∠A=∠E，BD=CF.求证：AB=EF．21.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC．22.尺规作图：如图，有两条公路l，m和两个村庄A，B，现要建一座信号发射塔，使它到两条公路l，m和两个村庄A，B的距离都相等．(保留作图痕迹)23.已知：在△ABC中，AB=AC，D在AB上，DE//AC.求证：DB=DE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)．(1)求出△ABC的面积；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．25.在△ABC中，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB，求证：BM=CN．26.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AB边上一点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，且交BC边于点F，AG平分∠BAC交CD于点G，求证：BF=AG．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查了轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行解答即可．解：A.不是轴对称图形，故A错误；B.是轴对称图形，故B正确；C.不是轴对称图形，故C错误；D.不是轴对称图形，故D错误；故选B．2.答案：C解析：本题考查三角形三边关系，较为简单，熟练掌握三角形三边关系即可解题.在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解：∵5+8=13，8−5=3，∴根据三角形三边关系，第三条边应在3cm∼13cm之间(不包含3和13)．故选C．3.答案：C解析：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，属于基础题．根据直角三角形的性质得出AB=2AC，从而得出AB的长即可．解：∵△ABC为直角三角形，∠B=30°，∠C=90°，∴AB=2AC，∵AC=2cm，∴AB=4cm．故选C．4.答案：B解析：多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的一半，则多边形的内角和是720度，根据多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，依此列方程可求解．本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．解：设多边形边数为n．则360°×2=(n−2)⋅180°，解得n=6．故选B．5.答案：B解析：本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，解答此题由顶角为50°，可得两底角的和为180°−50°=130°，然后根据两底角相等，可得一个底角的度数．解：∵等腰三角形的一个顶角为50°∴底角=(180°−50°)÷2=65°．故选B．6.答案：D解析：解：根据图形可得公共边：AB=AB，A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；故选：D．根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.答案：C解析：证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴AD=CD=12AC，∠DBC=12∠ABC=30°，∵CE=CD，∴CE=12AC=3∴BE=BC+CE=6+3=9．故选C．因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30°，AD=CD=12AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC是正确解答本题的关键．8.答案：B解析：本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，∴DE=CD，BE=BC，∵AB=9cm，BC=8cm，∴AE=AB−BE=AB−BC=9−8=1cm，∴△ADE的周长=AD+DE+AE，=AD+CD+AE，=AC+AE，=5+1，=6cm．故选B．9.答案：D解析：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．此题是借用不等式来求等腰三角形的底边的长度.设腰长为x，则底边为14−2x，根据三角形三边关系可得到腰长可取的值，从而求得底边的长．解：设腰长为x，则底边为14−2x，∵14−2x−x<x<14−2x+x，∴3.5<x<7，∵三边长均为整数，∴x可取的值为：4或5或6，∴当腰长为4时，底边为6；当腰长为5时，底边为4，当腰长为6时，底边为2；综上所述，以上三种情况都有可能．故选D．10.答案：三角形的稳定性解析：本题考查三角形稳定性的实际应用，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，这种做法根据的是三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．解：由题图知，构造出的是三角形，结合实际情况可知用到了三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．11.答案：a9解析：解：原式=a5+3+1=a9故答案为：a9．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可．本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．12.答案：(−1,−2)解析：解：∵A(1,−2)与点B关于y轴对称，∴点B的坐标是(−1,−2)．故答案为：(−1,−2)．根据“关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变”解答即可．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，(1)关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)．(2)关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)．13.答案：70°解析：根据三角形的外角的性质计算．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠A=∠ACD−∠B=70°，故答案为：70°．本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14.答案：720°解析：解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：(6−2)×180°=720°．故答案为：720°．15.答案：22°解析：解：∵AB//CD，∴∠DFE=∠A=49°，又∵∠C=27°，∴∠E=49°−27°=22°，故答案为22°．根据AB//CD，求出∠DFE=49°，再根据三角形外角的定义性质求出∠E的度数．本题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质，找到相应的平行线是解题的关键．16.答案：∠ABD=∠CDB(答案不唯一)解析：解：添加条件是∠ABD=∠CDB，理由是：在△BAD和△DCB中，{AB=DC∠ABD=∠CDB BD=DB，∴△BAD≌△DCB(SAS)，故答案为：∠ABD=∠CDB(答案不唯一)．添加条件是∠ABD=∠CDB，根据SAS推出即可．本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．17.答案：48°或96°或88°解析：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.会运用分类讨论的方法解决数学问题．当“特征角”为48°时，即α=48°；当β=48°时，利用新定义得到“特征角”α=96°；当第三个角为48°时，根据三角形内角和得到α+12α+48°=180°，解关于α的方程即可．解：当“特征角”为48°时，即α=48°；当β=48°时，则“特征角”α=2×48°=96°；当第三个角为48°时，α+12α+48°=180°，即得α=88°，综上所述，这个“特征角”α的度数为48°或96°或88°．故答案为48°或96°或88°．18.答案：3解析：解：过P作PF⊥AB于F，∵PD//AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF=12PD=3，∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．故答案为：3．过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP=∠BAC=30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．19.答案：解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，∴AF=BE，在△ADF与△BCE中，{AD=BC ∠A=∠B AF=BE，∴△ADF≌△BCE(SAS)．解析：本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证AF=BE，根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE．20.答案：证明：∵AB//EF，∴∠B=∠F．又∵BD=CF，∴BC=FD．在△ABC与△EFD中{∠A=∠E ∠B=∠F BC=FD,∴△ABC≌△EFD(AAS)，∴AB=EF．解析：利用AAS证明△ABC≌△EFD，再根据全等三角形的性质可得AB=EF；此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是证明△ABC≌△EFD．21.答案：证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中{DE=DFBD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB=FC．解析：本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得到DE=DF是解题的关键．由角平分线的性质可求得DE=DF，可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可求得BE=FC．22.答案：解：作直线m和l的夹角平分线，作AB的垂直平分线，两线的交点P就是所求．解析：到两条公路l，m的距离相等，则在两线的夹角的平分线上，到两个村庄A，B的距离都相等，则在线段AB的垂直平分线上，两线的交点就是所求的点．此题主要考查了：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解．23.答案：证明：∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵DE//AC，∴∠C=∠DEB，∴∠DEB=∠B，∴DB=DE．解析：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质.根据等边对等角得到∠B=∠C，根据平行线的性质得到∠C=∠DEB，从而得到∠B=∠DEB，根据等角对等边即可得证．24.答案：解：(1)S△ABC=2×3−12×1×3−12×1×2−1 2×1×2=52；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求．解析：(1)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；(2)利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而得出答案．此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．25.答案：证明：连接BD，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB=DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，∴BM=CN．解析：本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明△DMB≌△DNC，即可得出BM=CN．26.答案：证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，又∵AG平分∠BAC，∠BAC=45°，∴∠GAC=12又∵∠BAC=90°，AE⊥CD，∴∠BAF+∠EAC=90°，∠EAC+∠ACG=90°，∴∠BAF=∠ACG，又∵AB=CA，∴△ABF≌△CAG(ASA)，∴BF=AG解析：由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠GAC=45°，AB=AC，由余角的性质可得∠BAF=∠ACG，可证△ABF≌△CAG，可得BF=AG．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．。