专题71 瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【精典例题】1、如图，在反比例函数2yx=−的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6 B．C．D．【答案】D【解析】解：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD==2，当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，所以，点B到原点的最大距离是2+2．故答案为2+2．【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A−1 B．3C．3 D【答案】B【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，∵△ABC 是等边三角形，∴CE=AC×sin60°=3=，AE=BE ， ∵∠AOB=90°，∴EO 12=AB = ∴EC-OE ≥OC ，∴当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3故选B ．2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【答案】【详解】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=12AB=2，∴OD 的最大值为：，故答案为3、如图，在ABC △中，90ACB ∠=°，30CAB ∠=°，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)333+.【详解】(1)在ABC �中，ACB 90∠=°，CAB 30∠=°，ABC 60∠∴=°，在等边ABD �中，BAD 60∠=°，BAD ABC 60∠∠∴==°，E 为AB 的中点，AE BE ∴=，又AEF BEC ∠∠= ，AEF BEC ∴��≌，在ABC �中，ACB 90∠=°，E 为AB 的中点，1CE AB 2∴=，1BE AB 2=，CE AE ∴=，EAC ECA 30∠∠∴==°，BCE EBC 60∠∠∴==°，又AEF BEC ��≌，AFE BCE 60∠∠∴==°，又D 60∠=° ，AFE D 60∠∠∴==°，FC BD ∴�，又BAD ABC 60∠∠==° ，AD BC ∴�，即FD BC �，∴四边形BCFD 是平行四边形；(2)在Rt ABC �中，BAC 30∠=° ，AB 6=，1BC AB 32∴==，∴AC ==，BCFD S 3∴==平行四边形(3)取AB 的中点G ，连结CG ，DG ，CDCD CG DG ≤+ ，CD ∴的最大长度CG DG 3=+=+4、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=A ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=°，则线段MN 的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．6【答案】D【详解】连接CN ， ∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∴''=90A CB ACB ∠=∠°，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=°，， ∴'30A ∠=°，''8A B =，∵N 是''A B 的中点， ∴1''42CN A B ==， ∵在∆C MN 中，MN ＜CM+CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN=CM+CN=6，∴线段MN 的最大值为6．故选D ．【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【答案】54．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE，∴CE=BE=AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，∵QB=PB，CB=EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，∴PE=12AE=54，∴CQ的最小值为54．故答案为：542、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．1．5 【答案】B【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=12 AB，∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB = ∠=∠ =， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG=NH ，根据垂线段最短，当MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×12=6， ∴MG=12CG=12×6=3， ∴HN=3；故选：B ．【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（ ）A．B．C− D．−【答案】C【详解】解：连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，∴EM 、FM 和EF 分别是△ABP 、△CBP 和△ABC 的中位线∴EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF=12AC∴∠EFC=180°－∠ACB=90°∵AC 为直径∴∠APC=90°，即AP ⊥CP∴EM ⊥MF ，即∠EMF=90°∴点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上取EF 的中点O ，连接OC ，点O 即为半圆的圆心当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长， ∵等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，∴AB =∴EF=12AC =，FC=12BC =，∴OM 1=OF=12EF根据勾股定理可得∴CM 1=OC －OM 1即CM 故选C ．2、如图，抛物线2119y x =−与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2BC ．52D ．3 【答案】A【详解】 ∵2119y x =−，∴当0y =时，21019x =−，解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3−，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC长度5=，∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，即：OE=12 BD，∵D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，∴BD的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE的最小值为2，故选：A.。