（2） 符号函数：；
syms t; f = 2*Heaviside(t)-1; F = fourier(f) FM = abs(F) subplot(2,1,1); ezplot(f); subplot(2,1,2); ezplot(FM); hold on; axis([-6,6,0,10]); hold off; F= -2*i/w FM = 2/abs(w)
title('f(t)的付氏变换F(w)');
四、傅立叶变换主要性质及MATLAB实现
1、尺度变换特性 若，则傅立叶变换的尺度变换特性为： （4-7） 下面举例说明傅立叶变换的尺度特性。 例4-5：设，用MATLAB求的频谱，并与的频谱进行比较。 解：将例4-4的程序进行修改，就可得到该例的MATLAB程序，即将信 号改：f=Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)，其它语句不变。运行结果如 下：
实验四 连续时间信号的傅立叶变换
一、目的
（1）掌握连续信号傅立叶变换与逆变换的计算方法 （2）掌握利用MATLAB实现连续时间信号傅立叶变换的方法
二、傅立叶变换及MATLAB实现
信号的傅立叶变换定义为： （4-1） 值得注意的是，的傅立叶变换存在的充分条件是在无限区间内绝对 可积，即满足下式： （4-2） 但式（4-2）并非存在的必要条件。当引入奇异函数概念后，使一些 不满足绝对可积的也能进行傅立叶变换。 傅立叶逆变换定义是： （4-3） MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅立叶变换及 逆变的函数fourier()和ifourier()。两者调用格式如下： 1、傅立叶变换 （1） F=fourier(f) （2） F=fourier(f,v) （3） F=fourier(f,u,v) 说明如下： （1） F=fourier(f)是符号函数f的傅立叶变换，默认返回是关于 的函数。如果，则fourier函数返回关于的函数； （2） F=fourier(f,v)返回函数F关于符号对象v的函数，而不是默 认的，即 （3） F=fourier(f,u,v)对关于的函数f进行变换，返回函数F关于v 的函数，即 2、傅立叶逆变换 （1） f=ifourier(F) （2） f=ifourier(F,u) （3） f=ifourier(F,v,u) 说明如下： （1） f=ifourier(F)是函数F的傅立叶逆变换。默认的独立变量 为，默认返回是关于的函数。如果，则ifourier函数返回 关于的函数； （2） f=ifourier(F,u)返回函数f是的函数，而不是默认的函数;
图4-1 例4-3程序运行结果
3、实验内容 利用fourier()命令求解如下信号的傅立叶变换，给出的波形图以及的 表达式和幅度频谱图： （1） 钟形脉冲：;
syms t; f = exp(-(t/2)^2); F = fourier(f) subplot(2,1,1); ezplot(f); subplot(2,1,2); ezplot(F); F= 2*exp(-w^2)*pi^(1/2)
（2） 。
R=0.02;t=-2:R:2; f=1-0.5.*abs(t); W1=2*pi*5; N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t'*W)*R; F=real(F); W=[-fliplr(W),W(2:501)]; F=[fliplr(F),F(2:501)]; subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)=1-0.5.*abs(t)'); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel('w');ylabel('F(w)&t-0.3)的频谱图
f1=f.*exp(-j*20*t); f2=f.*exp(j*20*t); W1=2*pi*5; N=500;k=-N:N;W=k*W1/N; F1=f1*exp(-j*t'*W)*R; F2=f2*exp(-j*t'*W)*R; F1=real(F1); F2=real(F2); subplot(121); plot(W,F1); xlabel('w'); ylabel('F1(jw)'); title('F(w)左移到w=20处的频谱F1(jw)'); subplot(122); plot(W,F2); xlabel('w'); ylabel('F2(jw)'); title('F(w)右移到w=20处的频谱F2(jw)'); 运行结果如下图所示：
精度要求来确定一个适当的频率为信号的带宽。 例4-4：已知门信号，求其傅立叶变换。 解：由信号分析可知，该信号的频谱为，其第一个过零点频率为，一般 将此频率认为信号的带宽。考虑到的形状，将精度提高到该值的50倍， 即，据此确定取样间隔： 实现该过程的MATLAB程序如下： R=0.02;t=-2:R:2; f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); W1=2*pi*5; N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t'*W)*R; F=real(F); W=[-fliplr(W),W(2:501)]; F=[fliplr(F),F(2:501)]; subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel('w');ylabel('F(w)'); title('f(t)的付氏变换F(w)'); 程序运行结果如图4-2所示。
图4-3 尺度变换例子
通过图4-3与图4-2比较可见，将展宽了一倍，而幅度将为的一半。
2、时移特性 若，则傅立叶变换的时移特性为： （4-8） 下面举例说明傅立叶变换的时移特性。 例4-6：设，试用MATLAB绘出，及其频谱（幅度谱和相位谱），并对 二者频谱进行比较。 解：求解程序命令如下： r=0.02; t=-5:r:5; N=200; W=2*pi*1; k=-N:N; w=k*W/N; f1=1/2*exp(-2*t).*Heaviside(t); F=r*f1*exp(-j*t'*w); F1=abs(F); P1=angle(F); subplot(311); plot(t,f1); grid; xlabel('t'); ylabel('f(t)'); title('f(t)'); subplot(312); plot(w,F1); xlabel('w'); grid; ylabel('F(jw)'); subplot(313); plot(w,P1*180/pi); grid; xlabel('w'); ylabel('P(度)'); 运行结果如图4-4所示。 将求解频谱的程序进行适当修改，即可得到求解频谱的程序，即将 t=-5:r:5修改为t=-2:r:2；f1修改为f1=1/2*exp(-2*(t-0.3)).*Heaviside(t0.3)；将ylabel(‘f(t)’)修改为ylabel(‘y(t)’)；将title(‘f(t)’) 修改为
title(‘y(t)’)。修改后程序运行结果如图4-5所示。 通过图4-4和图4-5比较可得，当时域波形右移后幅度谱不变，相位 增加。同样，将上述程序稍加修改可得到求解左移信号的频谱图，请同 学们自己完成。 3、频移特性 若，则傅立叶变换的频移特性为： （4-9） 下面举例说明傅立叶变换的频移特性。 例4-7：设，试用MATLAB绘出及的频谱和，并与的频谱进行比较。 解：用MATLAB实现的程序如下： R=0.02;t=-2:R:2; f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
图4-2 矩形脉冲信号的傅立叶变换
2、实验内容 求解如下信号的傅立叶变换，绘出信号的时域波形及幅度频谱图： （1） 升余弦脉冲：；
R=0.02;t=0:R:1; f=0.5*(1+cos(pi*t)) W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t'*W)*R; F=real(F); W=[-fliplr(W),W(2:501)]; F=[fliplr(F),F(2:501)]; subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)=0.5(1+cos(pi*t))'); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel('w');ylabel('F(w)'); title('f(t)的付氏变换F(w)');
function f= Heaviside(t) f=(t>0); 注意：采用fourier()和ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。若 需对返回函数作图，则应用ezplot()绘图命令而不能用plot()命令。如果 返回函数中有诸如狄拉克函数等项，则用ezplot()也无法作图。用 fourier()对某些信号求变换时，其返回函数可能会包含一些不能直接表 达的式子，甚至可能会出现一些屏幕提示“未被定义的函数或变量”的 项，更不用说对此返回函数作图了。这是fourier()的一个局限。另一个 局限是在很多场合，原信号尽管是连续的，但却不可能表示成符号表达 式，而更多的实际测量现场获得信号是多组离散的数值量，此时也不可 能应用fourier()对进行处理，而只能用下面介绍的数字计算方法求解。