1.3.1 位移
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O

P
r (t )
s
r
Q

r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A

2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0

r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
2.变速圆周运动
v v v n v 反映速度大小的变化 v n 反映速度方向的变化 v v n v lim lim a lim t 0 t t 0 t t 0 t
A
v (t )
v B v n
dv v a a an τ n dt R
3. 变速曲线运动
P
an
2
v
aτ
dv v a τ n dt
a a a n
2 2
2

a
v dv dt
2
1
2
2
曲率圆
a 与 的夹角 tg
d r
2
O

v (t )
v
t 0
dt
2
v (t t )
讨论 (1) 加速度是速度的一阶导数，是位矢的二阶导数
(2) 根据运动方程 r r (t ) 或 v v (t )，可确定任意时刻的加速度 a
r r (t )
求导
v v (t )
在Ob上截取
有
a
v (t )
v
v (t t )
b
c
oc oa
O v cb v ac cb v n v t v n ac 速度方向变化 速度大小变化 v t cb
1.3.3 加速度
a d r
2
p2
z
x
（D）位移是矢量, 路程是标量.
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s . ds d r
注意：
1、位移和路程的区别
s r ,
但 ds dr ；
2、位移大小和位矢大小增量的区别
r r ， d r d r
3、 要分清 r 、 r 、 r 等的几何意义。
t 0
A
R
v
B

r

O

Q v (t t )
a 的方向 沿v (t0 时)方向
v 法向加速度 an n R
2
v (t )
v
反映速度方 向变化快慢
速度大小
A


B
v (t t )

O
讨论 加速度
反映 速 度矢量
变化的快慢
速度方向
dv dt 0
O
v (t d t )
v (t ) dv
而
a a 0
所以
a
dv dt
三、 运动学的两类问题
v , a 1. 第一类问题 已知运动学方程，求 2 例 已知一质点运动方程 r 2t i ( 2 t ) j
求 (1) t =1 s 到 t =2 s 质点的位移 (3) 轨迹方程
r x y z
2 2 2
y
r ( t1 )
O
P r 1
r (t 2 )
s
P2

r
P1 ( x1 , y 1 , z 1 )
x
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
注意
r r
2
位矢长度的变化
2 2
r
x 2 y 2 z 2 x1 y 1 z 1
a lim
v t
v (t )
P

t | v | v OABAPQ | r | R 2 v v r | r | v a lim ( ) | lim | t 0 R t R R t 0 t
t 0
a lim
| v |
2
d y dt
2
2

dv y dt
2

dv z dt
大小为
ax a y az
2
方向用方向余弦表示为
ax cos α a ay cos β a az cos γ a
讨论
问
dv a a 吗？ dt
例 匀速率圆周运动
因为 所以
v (t ) v (t d t )
r1 x A i y A j r2 x B i y B j
位移 r r2 r1
y
yB yA
( x B x A )i ( y B y A ) j
o
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
1.3.2 速度
v dr
dx dy dz ( x i yj z k ) i j k dt dt dt dt dt d
v xi v y j v z k
vx dx dt
2 x
vy
2 y
dy dt
2 z
vz
( dx dt
解 (1) 由运动方程得 r1 2i j
(2) t =2 s 时，v ， a
r2 4i 2 j
r r2 r1 2i 3 j dv dr a 2 j (2) v 2i 2t j dt dt a 2 2 j t =2 s 时 v 2 2 i 4 j
求导
a a (t )
v v (t ) 和 r r (t ) (3) 根据 a a (t ) 以及初始条件，可确定 a a (t )
积分 积分 v v (t )
r r (t )
1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
xB
x
若质点在三维空间中运动
r ( x B x A )i ( y B y A ) j ( z B z A )k
位移的大小为
r x y z
2 2 2
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间 位置的变化, 与路径无关，只 决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量 性和叠加性. r xi yj zk z
an a
例 一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。 解 速度
(2) 速度 与 r ( t 0时 ) 方向相同 ，沿轨迹切线方向
v
P

趋向切线方向
Q
r
L
(3) 根据运动方程 r r (t )，可确定任意时刻的速度 v
例如：作业1.8
平均速率 v 瞬时速率 v
s t ds
y
B
r (t t )
s r
dt
2
2 2 2 d x d y d z 2 ( xi yj zk ) i j 2 k 2 2 dt dt dt dt
d
2
axi a y j az k
az d z dt
2 2
ax
d x dt
2
2

dv x dt
a
ay

O

P
v
v (t t )
a a n
2
v a n 反映速度方向变化的快慢 ，指向圆心. 法向加速度 第二项： n R vτ 切向加速度 反映速度大小变化的快慢 第一项：aτ lim t 0 t | v τ | v dv v τ v (t t ) v (t ) v 大小 aτ lim lim t 0 t 0 t t dt 方向 t 0 时， 0，则 vτ 沿切线方向