（1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点； （2）规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点， 依次表示 1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法一次表示-1，-2，-3，… 注： ①数轴的定义包含三层涵义：第一层涵义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
F E DC B A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
分析：根据各点距原点多少个单位长度；在原点的左边为负数，在原点的右边为正数， 在原点的是“零”．
解：A 表示 4；B 表示 2.5；C 表示 1；D 表示：0；E 表示－1.5；F 表示：－3． 评析：找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系（负左，右 正，零原点）；②确定点距原点的距离． 例 2. 已知：绝对值小于 a（a＞0）的整数有 9 个． （1）a 是什么整数． （2）求这 9 个整数的绝对值的和． 分析：从绝对值的定义入手：“一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距 离”．画出数轴，从特例出发，开展探究．
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 如： ＋3 和－3，＋4.4 和－4.4 互为相反数． 注：相反数是成对出现的，不能单独存在，例如，＋3 和－3 互为相反数，是说－3 是 ＋3 的相反数，＋3 是－3 的相反数，单独一个不能说是相反数． 2.相反数的表示方法 一般地，数 a 的相反数是－a，这里 a 是任意的有理数，可以是正数、负数或零． 例如：当 a＝6 时，－a＝－6，6 是－6 的相反数；当 a＝－2 时，－a＝－（－2），因为－2 的相反数是 2，所以－（－2）＝2；当 a＝0 时，－a＝0，0 的相反数是 0，因此－0＝0． 四、绝对值 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作︱a︱．
正分数 正整数
有理数零
整数 分数
负有理数
负整数 负分数
（2）按整数和分数的关系分类：
有理数
正整数 整数 零 负整数
自然数
分数 正 负分 分数 数
二、数轴 一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数， 这条直线叫做数轴．
如： -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
和温度计类似，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，于是：
（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小．
-5 -3 -2 0 2
56
注：异号两数比较大小，要考虑它们的正负； 同号两数比较大小，要考虑它们的绝对各点分别表示什么数？
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
①绝对值小于 1 的数在－1 和 1 之间，整数只有 0 ②绝对值小于 2 的数在－2 和 2 之间，整数只有 0，±1 ③绝对值小于 3 的数在－3 和 3 之间，整数只有 0，±1，±2 ④绝对值小于 4 的数在－4 和 4 之间，整数只有 0，±1，±2，±3 ⑤绝对值小于 5 的数在－5 和 5 之间，整数只有 0，±1，±2，±3，±4 …… 从上面的探究我们已经知道，当 a 为 5 时，满足条件的整数有 9 个． 解：（1）满足条件的整数 a 为 5 （2）这 9 个整数是：0，±1，±2，±3，±4 故它们的绝对值的和为：︱0︱＋︱1︱＋︱2︱＋︱3︱＋︱4︱＋︱－1︱＋︱－2︱＋ ︱－3︱＋︱－4︱＝20 评析：绝对值的定义是依据数轴给出的，因此，在研究绝对值的有关问题时，可以利用 数轴来帮助思考，使问题通过图形直观化．这种利用数形结合来研究问题的思想，人们称之 为数形结合思想．
1·2 有理数
要点精讲
一、有理数
1.有理数的有关概念
（1）整数和分数统称为有理数. 注意：整数也可以看成分母为 1 的分数，但为了研究方便，本章中分数就是指不包括整 数的分数. （2）整数包括正整数、零、负整数. （3）分数包括正分数和负分数.
2. 有理数分类
（1）按正数、负数和 0 的关系分类：
正有理数
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0． （1）a 是正数时，︱a︱＝a； （2）a 是 0 时，︱a︱＝0； （3）a 是负数时，︱a︱＝-a． 五、有理数大小比较
20 15 10 5 0 -5 -10 -15
第二层涵义是说数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层涵义是 说原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来．正有理数可以用原点右边的点表示，负 有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示．
三、相反数 1.相反数定义 关于相反数可以有两种定义方法： ①代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，也称这两个 数互为相反数，0 的相反数是０；（“０的相反数是０”是相反数定义的一部分，千万不能漏 掉；“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的 两个数就是互为相反数，例如：－2 和＋3 符号不同，但它们不是互为相反数） ②几何定义：在数轴上位于原点的两旁，并且与原点的距离相等的两个点所表示的数， 叫做互为相反数．