常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。

对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。

具体例子可参考书本P10—P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。

将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。

具体例子可参照书本P16—P17的例题。

③一阶齐次型微分方程（变量代换）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 满足对于一切非零实数t 都有等式),(),(y x f ty tx f =成立，我们称一阶微分方程),(y x f dxdy=为一阶齐次型微分方程。

对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。

事实上，如果我们令xt 1=于是)(),1(),(x y x y f y x f ϕ==。

于是一阶齐次型微分方程),(y x f dx dy =可表示为)(x y dx dy ϕ=然后令xy u =将其化为一阶可分离变量微分方程。

具体过程如下：令dx du x u dx dy xu y x y u +===,，则，代入方程)(xydx dy ϕ=可得)(u dx du x u ϕ=+也就是x u u dx du -=)(ϕ，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将xyu =回代就可得到一阶齐次型微分方程),(y x f dxdy=的通解。

当然，有时候我们令y t 1=于是)()1,(),(xyx y f y x f ψ==。

于是一阶齐次型微分方程),(y x f dxdy=可表示为)(y x dx dy ψ=也就是）yx dy dx (1ψ=此时令dy dv y v dy dx y x v +==，则，代入方程）yx dy dx (1ψ=可得)(1v dy dv y v ψ=+然后再依次求解。

有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。

具体例子可参看书本P20—P22的例题。

④伯努利方程（变量代换）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 满足等式)1,0(,)()(),(≠-=n y x P y x Q y x f n ，我们就称由此形成的微分方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 为伯努利方程。

对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。

我们可以在方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 两边同除以n y ，可以将方程变形为)()(1x Q y x P dxdy ynn=+--即)()()(1111x Q y x P dx y d n n n =+---。

我们令n y z -=1，于是方程即)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+利用一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(可得)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+的通解，再将n y z -=1回代就得到了伯努利方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 的通解。

具体例子可参照书本P22—P23的例题。

⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y b x a by ax f dx dy11的方程也是齐次方程。

对于这种类型的方程通过简单的代换就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。

我们讨论更一般的情形，对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=111c y b x a c by ax f dx dy的齐次方程，我们令βηαξ+=+=y x ,，其中βα,为待定常数，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=11111c b a b a c b a b a f dx dyβαηξβαηξ，可以选取适当的βα,使得⎩⎨⎧=++=++00111c b a c b a βαβα 当011≠-=∆b a ab 时，βα,有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ηξηξξη11b a b a f d d ，求解此方程，并将βηαξ-=-=y x ,代回就得到齐次方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=111c y b x a c by ax f dx dy的解。

当011=-=∆b a ab 时要分两种情况讨论。

情况一：若01≠b ，则k b b a a ==11。

原方程可以化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=11111)(c y b x a c y b x a k f dx dy。

令,11y b x a z +=则)(111x a z b y -=得到变量可分离的方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛-1111c z c kx f a dx dz b ，然后按照相应的解法即可求解。

情况二：若01=b ，则b a 与1中至少有一个为0.当0=b 时，原方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11c x a c ax f dx dy是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。

当0≠b 时，可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=a dx dz b dx dy by ax z 1,，原方程就变为了⎪⎭⎫⎝⎛-a dx dz b 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11c x a c z f 这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。

具体例子可参看书本P24—P25的例题。

2. 可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程）① 形如)()(x f y n =的微分方程对于形如)()(x f yn =的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n 次便可以求得其含有n 个任意常数的通解为n n n n C n x C n x C dx x f y ++-+-+∙∙∙=--⎰⎰⎰...)!2()!1()(2211 个积分符号。

具体例子可参看书本P28例题。

②形如),(y x f y '=''的微分方程一般二阶微分方程可以表示为),,(y y x g y '=''，当因变量y 不显含时形成了如),(y x f y '=''的不显含因变量y 的二阶微分方程。

我们可以通过变量代换来进行降阶。

我们令dx dp y y p ='''=,，于是方程可化为),(p x f dxdp=，这是一个以p 为未知函数，以x 为自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。

设其通解为),(1C x p ϕ=，则),(1C x dxdyϕ=。

两边积分就得到原方程的通解为21),(Cdx C x y +=⎰ϕ。

其中21,C C 为任意常数。

具体可参看书本P28—P30例题（注意例4！！）③形如),(y y f y '=''的微分方程与不显含因变量y 的二阶微分方程的定义类似，我们把形如),(y y f y '=''的微分方程称为不含自变量x 的二阶微分方程。

我们仍然通过变量代换来求解此类方程。

我们令dy dp p dx dy dy dp dx dp y y p =∙=='''=,，于是方程可化为),(p y f dydpp =，这是一个关于y p ,的一阶微分方程，我们可以容易求得。

设其通解为),(1C y p ψ=，则由dxdyy p ='=可得dx C y dy =),(1ψ，两边积分就得到原方程的通解为21),(C x C y dy+=⎰ψ。

其中21,C C 为任意常数。

具体例子可参看书本P32—P34例题。

注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如p 时我们一定要注意是否会丢失0=p 的解。

3. 线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。

我们直接介绍n 阶线性微分方程)()()(...)(1)1(1)(x f y x a y x a y x a yn n n n =+'+++--的解的结构与性质。

对于区间],[b a 上的n 个函数)(......)()()(321x y x y x y x y n 、、、、，若存在n 个不全为0的常数n k k k k 、、、、......321使得在],[b a 上有0)(1≡∑=ni ii x y k ，我们就称这n 个函数在区间],[b a 上是线性相关的，否则就是线性无关的。

此外对于n 阶线性微分方程)()()(...)(1)1(1)(x f y x a y x a y x a yn n n n =+'+++--的系数)()(...)()(121x a x a x a x a n n 、、、-都为常数是我们称该方程为n 阶线性常系数方程，否则为n阶线性变系数方程。