因此，数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着 时代的变化而变化，现在、今后都不可能给出统一的、 严格的、永久性的数学定义。
二、数学的意义
本节观点摘自：张恭庆 “数学的意义” 张恭庆-北京大学数学科学学院教授、中国科学院院 士、第三世界科学院院士
一门科学只有当它达到了能够成功地运 用数学时，才算真正发展了
蒸汽机的 发现能量 电力的广 广泛应用 守恒、细 泛应用 胞学说和 进化论 珍妮纺纱 机、水力 纺纱机、 水力织布 机、瓦特 蒸汽机的 发明、
相对论和 原子能、 量子力学 电子技术、 的诞生 航天技术、 分子生物 学和遗传
代表
哥白尼的 “日心 说”、牛 顿《自然 哲学的数 学原理》、 开普勒定 律、伽利 略落体理 论
“科学是堆砖头，数学家 将之变成华厦”
德国数学家高斯 1777-1855
法国 庞加莱 1854-1912
三次科技革命
第一次科技革命 分类 时间 标志 科学 1543— 1755 近代自然 科学体系 的形成 技术 1733— 1823 第二次科技革命 科学 1755— 1895 技术 1823－ 1902 第三次科技革命 科学 1895－ 1953 技术 1903－ 1970
总结了数学的ห้องสมุดไป่ตู้5个分类定义
方延明：数学文化导论
1）哲学说 2）符号说 3）科学说 4）工具说 5）逻辑说 6）创新说 7）直觉说 8）集合说
9）结构说 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说
15）万物皆数说
给出：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的 结构的一门科学
我国数学家徐利治认为数学是“实在世界的最 一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界 中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式 的科学”
多年来，人们在不断地寻找数学的新“定义”，但是， 要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关于“数 学”的、大家取得共识的“定义”。 究其原因主要有两个方 面 一是时变性，即数学同其它学科一样，它的对象、 内容和方法，无时不在发生变化，因而只能在各个历史 时期对其对象、方法本质加以概括，给出描述定义，以 使人有整体性概念； 二是理解性，观点不同，出发点不同，理解也不同， 即使同一个时期也无统一的定义，每个定义都会打上时 代的烙印。
马克思 1818-1883
印度数学家拉奥说“一个国家的科学水平可以用它消 耗的数学来度量” 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化 工之巧，地球之变，生物之谜，日用 之繁，无处不用数学
数学家华罗庚 1910-1985
1、世界强国与数学强国
数学实力往往影响着国家实力，世界强国必然 是数学强国 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家 常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求
间形式的一门科学。
恩格斯的定义对于传统的初等数学 来说，是精辟的和无懈可击的
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但是，随着时间的推移，数学大大发展了，诸如 事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象。 这些，似乎不能包含在上述定义中
（美）林恩.斯蒂恩
这种传统上把数学描述为数与形的科 学，随着数学家开发的领域扩展到群论、 统计学、最优化和控制理论之中，数学的 历史的边界已经完全消失，同样数学的应 用的边界也没有了：它不再只是物理学和 工程的语言，现在数学已经成为银行、制 造业、社会科学以及医药必可不少的工具， 如果从这个广泛的背景来观察，我们看到 数学不只是讨论数与形，而且还讨论各种 类型的模式和次序
数学的“定义”
在漫长的人类文化史上，对数学有过 种种定义或描述，而这些定义或描述随 着数学研究的对象不断发展而演变
书中列举了古今几百种数学定 义或描述性定义
美国数学家莫里兹 6
数学的“定义”
古希腊人认为数学是科学或知识，亚里士多德 给出“数学是量的科学”的定义 欧洲人认为数学是数和数（shǔ）数的技术 逻辑学派创始人英国数理哲学家罗素认为 “数学是一种莫名其妙的科学” 形式主义学派创始人、德国数学家希尔伯特认 为“数学就是一些符号运算的结果”
自然科学 飞机、电 X射线、 电子计算 的全面变 报、电话、电子、天 机、移动 革（地质 发电机、 然放射性、电话、网 学、生物 电灯泡、 DNA双螺 络、人造 学、化学、留声机、 线结构等 卫星、可 视电话 热力学、 电影放映 的发现 电动力学 机、内燃 及电磁学）机的出现
强国变迁图
苏联、欧洲数学家移民， 世界唯一数学大国
二战后美国
20世纪德国、 前苏联 17-19世纪 英国、法国
德国哥廷根成为世界数学的中心、 苏联第一颗人造地球卫星 英国牛顿、法国的笛卡尔、柯 西、庞加莱
2、数学与科技革命
“大自然的规律是用数学书写的”
意大利 伽利略 1564-1642
“数学既是科学的 女皇， 也是科学的 仆人”
（美作家）R· 柯朗
数学是这样一种学科：她提 醒你有无形的灵魂；她赋予 所发现的真理以生命；她唤 起心神，澄清智慧；她给我 们的内心思想增辉；她涤尽 我们有生以来的蒙昧与无知
希腊数学家普罗克鲁斯 （410-485）
也有人说“数学像星星、像钻石，闪 烁着一种奇异无比的光辉，使人颤抖， 使人沉思，更使人心醉神驰。大自然 的一切：和煦的微风、绽露的嫩芽、 波光变幻的流水、曲线跌宕的山峦， 都显示出数学的有序、和谐”
直觉主义学派创始人、荷兰数学家布劳威尔和 其成员荷兰人赫伊廷认为“数学的根源不是别 的，是有直觉而已”
数学的“定义”
恩格斯在1875年批判杜林唯心主义观点时，
给出了数学经典的科学定义：“纯数学的对象 时现实世界的空间形式和数量的关系，所以是 非常现实的材料。” 即： 数学是研究现实世界中的数量关系与空
数学史讲座-1
数学的定义及意义
本讲主要内容
1 2
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• 数学是什么 • 数学的意义
• 高等数学改革
一、数学是什么
数学是科学之王
德国数学家高斯 1777-1855
数学是打开科 学大门的钥匙
英国哲学家培根 1561-1626
数学是观察理解世界的一种方式
美国数学家辛格
数学，作为人类智慧的一种 表达形式，反映生动活泼的 意念，深入细致的思考，以 及完美和谐的愿望，它的基 础是逻辑和直觉，分析和推 理，共性和个性