)



2


μ


E ( X P )

P

是一个p维向量，称为均值向量.
1.6
当 A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
( 1 )E (A ) X A (X ) E
1 .7
( 2 )E (A) X A (X B ) E B
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F (x ) x 1 x p f(t1 , tp)d t1 dp,t
(1.2)
对一切xRp 成立，则称 X（或 FX ）有分布
密度 f 并称 X为连续型随机向量。
一个p维变量的函数f(·)能作为R P 中某个随机向
量的分布密度，当且仅当
(i) f(x)0 xRp
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§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
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§1.1.1 随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
§1.1.2 分布函数与密度函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。
定义1.2 设 X(x1,x2, ,xp)是以随机向量，它的多元分布
函数是
F ( X ) F ( x 1 , x 2 , , x p ) P ( X 1 x 1 , , X p x p ) 1 . 1
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§1.1.4 随机向量的数字特征
1、随机向量 X的均值
设 X(X1,X2, ,Xp)有P个分量。若 E(Xi)i (i1,2, p)
存在，我们定义随机向量X的均值为:
E ( X1 ) 1
E
(
X )p E
(
X2
式中：
x (x 1 ,x 2 , ,x p ) R P ， 并 记 为 X F 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X~F(X)= F(x1,x2,,xp),若存在一个 非负的函数 f ,使得
多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
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第一章 多元正态分布
§1.1 多元分布的基本概念 §1.2 统计距离和马氏距离 §1.3 多元正态分布 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.5 常用分布及抽样分布
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第一章 多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应 用中都有着重要的地位。同样，在多变 量统计学中，多元正态分布也占有相当 重要的位置。原因是：
• 许多随机向量确实遵从正态分布，或近 似遵从正态分布；
• 对于多元正态分布，已有一整套统计推 断方法，并且得到了许多完整的结果。
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第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布 、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()x H )(h y ()y)
（1.4）
若 (X , Y)有密度 f (x,y)，用g(x)和h(y)分别表示 X和 Y
的分布密度，则X和Y 独立当且仅当 (1.5)
注意:在上述定义中，X和 Y的维数一般是不同的。
( 1 .8 )
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§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X自协方差阵
Σ C ( X , O X ) E ( X V E X )X (E X ) / D ( X )
D(X1)
CO(VX1,X2) CO(VX1,XP)
CO(VX2,X1) D(X2)

(x1,x2,
x(/1)

,xp)
x(/2)




xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
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j
序号
变量
X1
X2
…
Xp
1
x x np 11
x12
…
x1 p
2
x 21
x22
…
x2 p




n
x n1xn2…源自x np2019/12/8
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§1.1.1 随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 Xx21 x22
x1p

x2p
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n次
观测得到的，把这 p个指标表示为 X1,X2,,Xp常 用向量
X(X1,X2, ,Xp)'
表示对同一个体观测的 p个变量。若观测了 n
个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个
体的 p个变量为一个样品，而全体 n个样品形成一
个样本。
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(ii) f(x)dx1 Rp 2019/12/8
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§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X和 Y称为是相互独立的，若
P (X x ,Y y ) P (X x )P ( Y y ) (1.3
对一切(X , Y)成立。若 F(x, y)为(X , Y)的联合分布函
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§1.1.1 随机向量
横看表1-1，记 X ()(x1,x2, ,xp)'， 1,2,n
它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j(x1j,x2j, ,xn)j ', j 1,2,p
表示对
j 第个变量
x
的n次观测数值。下面为表1-1