更减相损术
原理
定理12: 如果[a，b]=m,(a,b)=d,那么md=ab
定理20：如果b/a,那么（a,b）=b
定理21：如果a÷b=q……r,(r≠0),那么（a,b）=(b,r)
中国剩余定理
定理23：如果a=rmodb,那么a+bn=rmodb (a,b都是整数，n是自然数)
性质1：a=amodn
性质2：a=bmodn等价与b=amodn
性质3：a=bmodn,b=cmodn,那么a=c(modn)
性质4：如果a=bmodn,c=dmodn,那么a+c=b+d(modn)
推论4：如果a=bmodn,c=dmodn,那么a-c=b-d(modn)
性质5：a=bmodn,c=dmodn,那么a×c=b×d(modn)
《孙子算经》：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问无几何？”
X=2mod3
X=3mod5
X=2mod7
求适合条件的最小自然数x
解：[5,7]=35,35=2mod3,
[3,7]=21,21=1mod5,
∵ 3=3mod5，∴63=3mod5 （性质5）
[3,5]=15,15=1mod7,
∵ 2=2mod7, ∴30=2mod7 (性质5)
35+63+30=128.
由定理23可知：
128=2mod3,128=3mod5,128=2mod7,
所以128符合问题所提条件。

又[3,5,7]=105,
∵128=2mod3,105=0mod3
∴128-105=2-0(mod3) (性质4推论) 即23=2mod3.
同理 23=3mod5,23=2mod7，
且23<105,
所以适合条件的最小自然数是23.
练习： X=3mod5
X=4mod6
X=1mod7
求最小的自然数X (答案148)。