1．直线的斜率倾斜角：0180≤α︒<︒ 斜率：tan k α=⑴ 直线l 与x 轴平行或重合时，0α=︒，tan00k =︒=; ⑵ 当直线l 与x 轴垂直时，90α=︒，k 不存在．直线的斜率公式：2121y y k x x -=-， ()111P x y ，，()222P x y ，为直线上两点． 2．直线方程点斜式方程：00()y y k x x -=-； 斜截式方程：y kx b =+；两点式方程：1112122121()y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，；截距式方程：1(0,0)x ya b a b+=≠≠；一般式方程：0Ax By C ++=（A ，B 不全为零)，与直线一一对应． <教师备案>注意讲授每一种直线方程的使用条件，截距可正可负可为零． 3．两条直线的位置关系：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=； ⑴相交：12210A B A B -≠⑵平行：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ⑶重合：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑷垂直：12120A A B B += 4．点到直线的距离公式⑴点00()P x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离：0022Ax By Cd A B++=+，⑵两条平行线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离：1222C C d A B-=+．知识点睛11.1直线直线与圆考点：直线的方程尖子班学案1【铺1】 ⑴ 已知点()12P ，，()13Q -，，则直线PQ 的斜率是________． ⑵ 直线350x y -+=的倾斜角是_____．⑶ 直线5320x y 与两坐标轴围成的三角形面积 ．【解析】 ⑴ 12⑵ π3⑶ 215【例1】 ⑴ 倾斜角是直线32y x 倾斜角2倍的直线斜率等于 ．⑵ 对于任意实数k ，直线(2)3y k x 必过一定点，则该定点坐标为 ． ⑶ 若三点(23)(3)(4)a b ，，，，，在同一直线上，则a b ，满足的关系为__________． ⑷ 直线6120ax y a （a 不等于0）在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，则a．⑸ 已知(01)P ，，()00O ，,()10A ，为平面直角坐标系内的三点，若过点P 的直线l 与线段OA 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．π04，⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ42，⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π24，⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3ππ4，⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 ⑴ 3⑵ (23)， ⑶ 23b a ⑷ 2 ⑸ C目标班学案1【拓2】 ⑴ 若0ab ，0ac ，则直线0ax by c 不经过第 象限．⑵ 过点(12)A ，作直线l 使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 的条数是 ．⑶ 若直线20mx y ++=与线段AB 有交点，其中(23)(32)A B -，，，，求实数m 的取值范围．【解析】 ⑴ 三．⑵ 3⑶ m 的范围为52m ≥或43m -≤．【例2】 ⑴ 若直线1:260l ax y ++=与()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a 的值是 ；⑵ 以()13A ，，()51B -，为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A ．380x y --= B ．340x y ++= C ．360x y -+= D ．320x y ++=经典精讲⑶ 过点(01)M ，作直线，使它被两已知直线1:3100l x y -+=，2:280l x y +-=所截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程．【解析】 ⑴ 1⑵ B⑶440x y +-=．目标班学案2【拓2】 ⑴ 已知{()|(3)34}M x y m x y m ，=++=-，{()|7(5)80}N x y x m y ，=+--=，且M N =∅， 则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是___________． ⑵ 已知过点(11)A ，且斜率为(0)m m ->的直线l 与x y ，轴分别交于P Q ，，过P Q ，作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R S ，，求四边形PRSQ 的面积的最小值．【解析】 ⑴ 2⑵ 3.6．尖子班学案2【铺1】 如图所示，在ABC ∆中，顶点A B ，和内心I 的坐标分别为(91)A ，、(34)B ，、(41)I ，，求顶点C 的坐标．【解析】 点C 坐标为(14)--，．【例3】 已知三直线1l ：20(0)x y a a -+=＞，2l :4210x y -++=和3l :10x y +-=，且1l 与2l的距离是⑴ 求a 的值；⑵ 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三条件：①P 是第一象限的点；②P 点到1l 的距离是P 点到2l 距离的12；③P 点到1l 的距离与P 点到3l的距离之比是P 点的坐标；若不能，说明理由．【解析】 ⑴3a =．⑵ 137918P ，⎛⎫ ⎪⎝⎭1. 圆的方程标准方程：222()()x a y b r -+-=，()C a b ，为圆心，r 为半径： 一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->） <教师备案>⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零； ⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，22142D E F +-为半径的圆．2. 点与圆的位置关系圆的标准方程()()222x a y b r -+-=，圆心()A a b ，，半径r ， 点()00M x y ，在圆上，则()()22200x a y b r -+-=； 点()00M x y ，在圆外，则()()22200x a y b r -+->；点()00M x y ，在圆内，则()()22200x a y b r -+-<；反之，也成立． 3．直线与圆的位置关系如果圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，那么： ①若d r >，则直线与圆相离； ②若d r =，则直线与圆相切； ③若d r <，则直线与圆相交 4．圆与圆的位置关系设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ， 外离：12r r d +< 外切：12r r d += 相交：1212r r d r r -<<+ 内切：12r r d -=()0d ≠ 内含：12r r d ->考点：圆的方程【例4】 ⑴ 已知一圆的圆心为点(23)-，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求此圆的方程．⑵ 过点()11A -，与()11B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y +++= D ．()()22114x y -+-=⑶ 如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）．A ．(11)-，B ．(11)-，C ．(10)-，D ．(01)-，【解析】 ⑴ 22(2)(3)13x y -++=． ⑵ D经典精讲知识点睛11.2圆⑶ D尖子班学案3【拓1】 已知ABC △三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三角形外接圆的方程．【解析】 222143002x y x y +-++=．【例5】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问是否存在斜率为1的直线l ，其被圆C 截得弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 10x y -+=或40x y --=．【例6】 已知圆221:2610C x y x y ++-+=和圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解析】 3460x y -+=，245．【备选】 求与已知圆227100x y y +-+=相交，所得公共弦平行于已知直线2310x y --=且过点(23)-，、(14)，的圆的方程． 【解析】22210210x y x y ++-+=．【备选】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．⑴ 证明直线l 与圆相交；⑵ 当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【解析】 ⑴ 将直线l 的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩．即直线l 过定点(31)A ，，因为22(31)(12)525-+-=<，所以A 在圆C 的内部．故直线l 恒与圆相交． ⑵ 250x y --=．【备选】 求过直线370x y +-=与已知圆222230x y x y ++--=的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8-的圆的方程． 【解析】2244170x y x y +++-=．【例7】 ⑴ 若()x y ，满足关系式22414450x y x y +--+=，则32y x -+的最大值为 ；⑵ 若()x y ，满足()2211x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围为_____． 【解析】 ⑴ 23 ⑵)1+∞，已知圆C ：222210x y x y +--+=，直线:l y kx =，且l 与圆C 相交于P Q 、两点，点(0)M b ，，且MP MQ ⊥．⑴ 当1b =时，求k 的值；⑵ 当()12b ∈，时，求k 的取值范围． 【解析】 ⑴ 圆22:(1)(1)1C x y -+-=，当1b =时，点(0)M b ，在圆C 上，当且仅当直线l 经过圆心C 时，满足MP MQ ⊥．∵圆心C 的坐标为(11)，，∴1k =． ⑵ 由22,(1)(1) 1.y kx x y =⎧⎨-+-=⎩消去y 得22(1)2(1)10k x k x +-++=．① 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∴1222(1)1k x x k ++=+，12211x x k =+． ∵MP MQ ⊥，∴0MP MQ ⋅=．∴1122(,)(,)0x y b x y b -⋅-=，即1212()()0x x y b y b +--=． ∵11y kx =，22y kx =，∴1212()()0x x kx b kx b +--=，即221212(1)()0k x x kb x x b +-++=．∴222212(1)(1)011k k kb b k k ++⋅-⋅+=++，即222(1)111k k b b k b b ++==++． 当()12b ∈，时，1522b b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，， ∴22(1)5212k k k ++＜＜． 即222(1)2(1+),52(1+)<(1).2k k k k k k ⎧+⎪⎨+⎪⎩＞得1k k >⎧⎨∈⎩R 由①式得22[2(1)]4(1)0k k =+-+>Δ，解得0k >． ∴1k >．（2011年南京理工大学自主招生）已知圆O ：221x y +=，直线:4l x y +=．过l 上一点P 作圆O 的切线，则当切线长最短时，P 点的坐标为 ．【解析】 ()22，如图，切线长2221PA PO OA PO =-=-，所以当切线长最短时，线段PO 也最短， 所以当直线OP l ⊥时，切线长最短，此时，1OP k =，即()22P ，．大千世界BAPOyx。