(3)确定最优解 ①在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最 后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解． ②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域 的直线 l1、l2、…、ln 的斜率分别为 k1<k2<…<kn，而且目标函 数的直线的斜率为 k，则当 ki<k<ki＋1 时，直线 li 与 li＋1 相交的 点经常是最优解． (4)将最优解代入目标函数，求出最值．
疑难误区 点拨警示 1．在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范 围，防止将范围扩大． 2．对线性目标函数 z＝Ax＋By 中的 B 的符号一定要注意． 当 B>0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最 大，在 y 轴上截距最小时，z 值最小；当 B<0 时，直线过可行 域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大．
分析：如果点 P 在二元一次不等式 Ax＋By＋C＝0(A2＋ B2≠0)表示的平面区域内，则点 P 的坐标满足此不等式．
解析：点 P 到直线 4x－3y＋1＝0 的距离 d＝|4m－59＋1|＝4，解得 m＝7 或 m＝－3， 又∵点 P 在 2x＋y<3 表示的区域内，故 m＝－3.
答案：－3
答案：[－3,0]
线性规划的综合应用
[例 4] (2011·福建龙岩市模拟)已知变量 x、y 满足
x－2y＋4≤0，
x≥2，
则 x2＋y2 的取值范围为( )
x＋y－8≤0.
A．[13,40]
B．(－∞，13]∪[40，＋∞)
C．[4 2，6] D．(－∞，4 2]∪[6，＋∞)
分析：x2＋y2 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平 方，故只要画出可行域，观察可行域内的点何时到原点距离 取最大(小)值即可获解．
解析：由条件知22－＋tt－－43≤≤00，， ∴－2≤t≤1， ∴P(2，t)到直线 3x＋4y＋10＝0 的距离 d＝|6＋45t＋10|＝16＋5 4t≤4.
答案：4
(理)若点 P(m,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y<3 表示的平面区域内，则 m＝________.
42xx－＋yy≥≤－4，1， 则目标函数 z＝3x－y 的取值范围是(
)
x＋2y≥2，
A．[－32，6] C．[－1,6]
B．[－32，－1] D．[－6，32]
解析：本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思 想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线 l0：3x－y＝0， 将直线平移至经过点 A(2,0)处 z 有最大值，
区域
区域
不等式
B>0
B<0
直线 Ax＋By＋C＝ 直线 Ax＋By＋C＝0
Ax＋By＋C>0
0 上方
下方
直线 Ax＋By＋C＝ 直线 Ax＋By＋C＝0
Ax＋By＋C<0
0 下方
上方
主要看不等号与 B 的符号是否同向，若同向则在直线上 方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这种判断 方法称为 B 值判断法．即判定点 P(x0，y0)在直线 l：Ax＋By ＋C＝0(B≠0)哪一侧时，令 d＝B(Ax0＋By0＋C)，则 d>0⇔P 在直线 l 上方；d＝0⇔P 在 l 上；d<0⇔P 在 l 下方．
3．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作 图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没 有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是 整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当 调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直 线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻 找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点不是 明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检 查，以“验明正身”．
答案：73
(文)设不等式组 x2＋x－y≤y≤2， 1， x≥0，y≥0.
表示的平面区域为 D，向
区域 D 内任投一点 P，则点 P 落在圆 x2析：平面区域 D 为四边形 OABC，A(12，0)，B(1,1)， C(0,2)，易求 S 四边形 OABC＝54.
解析：作出可行域如图所示阴影部分，可解得 A(2,3)， C(2,6)，B(4,4)，
易知在可行域内点 A 到原点最近，点 C 到原点最远． ∴当 x＝2，y＝6 时，(x2＋y2)max＝40； 当 x＝2，y＝3 时，(x2＋y2)min＝13，故选 A.
答案：A
(文)(2011·莱芜模拟)已知实数 x，y 满足xy≤≤11，，
解题技巧 1．二元一次不等式表示的平面区域的判定方法 (1)不过原点(也不与坐标轴重合的直线)取原点检验，将原 点坐标代入，若满足不等式，则不等式表示的平面区域为原 点所在的一侧，否则为另一侧；过原点的取 x 轴(或 y 轴)上一 点，如(1,0)检验，结论同上．简称直线定界，特殊点定域．
(2)B 值判断法
π
π
A.64
B.32
3π
3π
C.64
D.32
解析： 作出不等式组
yy≥≤－x，x， 2x－y－4≤0，
表示的平面区域 M 为△OPQ 内部及边
界．x2＋y2≤1 表示的平面区域 N 为单位圆 O 内部及边界，如
图所示易得
P(43，－43)，Q(4,4)，
|PQ|＝
4－432＋4＋432＝8
3
5 .
y＋x≤1， y－x≤1， y≥0，
则x＋y 2的取值范围是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图，x＋y 2表示平 面区域内的点 P(x，y)与定点 Q(－2,0)连线的斜率，∵kQA＝0， kQC＝12，∴0≤x＋y 2≤12.
答案：[0，12]
简单线性规划的实际应用
[例 5] 某地一公司计划明年在省、市两个电视台做总时 间不超过 300min 的广告，广告总费用不超过 90000 元．省、 市电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟， 根据经验，省、市两个电视台为该公司所做的每分钟广告， 能给公司带来的收益分别为 3000 元和 2000 元．问该公司如 何分配在省、市两个电视台的广告时间，才能使公司的收益 最大，最大收益是多少元？
(5)在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小 值问题，称为线性规划问题．
(6)满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行 解组成的集合叫做可行域．
(7)使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问 题的最优解．
4．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的 平面区域作出，找出其公共部分． (2)将目标函数表达为 y＝f(x)的形式，考察待求最值的变 量的几何意义，令其为 0，作出目标函数等值线．
则z
x＋y≥1，
＝x2＋y2 的最小值为________．
解析：
作出可行域如图，显然可行域内的点到原点距离的最小 值为原点到直线 x＋y＝1 的距离．
∵原点到直线 x＋y＝1 的距离 d＝ 12，∴(x2＋y2)min＝d2 ＝12.
答案：12
(理)(2012·河南商丘模拟)设实数 x，y 满足不等式组
2．二元一次不等式 Ax＋By＋C>0(或 Ax＋By＋C<0)表示 的平面区域．
(1)在平面直角坐标系中作出直线 Ax＋By＋C＝0； (2)在直线的一侧任取一点 P(x0，y0)，特别地，当 C≠0 时，常把原点作为此特殊点． (3)若 Ax0＋By0＋C>0，则包含点 P 的半平面为不等式 Ax ＋By＋C>0 所表示的平面区域，不包含点 P 的半平面为不等 式 Ax＋By＋C<0 所表示的平面区域．
一般地说，直线不过原点时用原点判断法或 B 值判断法， 直线过原点时用 B 值判断法或用(1,0)点判断．只要会用一种 方法判断即可．
2．目标函数 z＝Ax＋By＋C，当 B>0 时，z 的值随直线在 y 轴上截距的增大而增大；当 B<0 时，z 的值随直线在 y 轴上 截距的增大而减小．
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[例 1]
(2011·济南模拟)不等式组x2－x－2yy－＋11≤≥00 x＋y≤1
表示
的平面区域为( )
A．四边形及其内部 B．三角形及其内部 C．在第一象限内的一个无界区域 D．不含第一象限内的点的一个有界区域
解析：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分，故 选 B.
答案：B
(文)(2012·新疆克拉玛依实验中学模拟)已知点 P(2，t)在不 等式组xx－ ＋yy－ －43≤ ≤00， ， 表示的平面区域内，则点 P(2，t)到直 线 3x＋4y＋10＝0 距离的最大值为________．
经过点 B(12，3)处 z 有最小值，即－32≤z≤6. 答案：A
点评：对于目标函数最值的求解需要注意 z 的几何意义及 系数的正负对取值的影响．
x＋y≥2， (理)已知实数 x、y 满足x－y≤2，
0≤y≤3，
则 z＝2x－y 的取值
范围是________．
分析：z＝2x－y 即 y＝2x－z，当直线 y＝2x－z 在 y 轴上 的截距最大(小)时，z 取最小(大)值 .
解析：先画出可行域如图，显然 z＝2x－y 在点(－1,3)处 达到最小值－5，在(5,3)处达到最大值 7.∴z∈[－5,7]．
答案：[－5,7]
点评：一定要弄清目标函数最值与对应直线在 y 轴上截 距的关系，不要错误的理解为截距最大(小)时，目标函数取 最大(小)值．
(2012·安徽理，11)若 x，y 满足约束条件xx≥ ＋02， y≥3， 则 2x＋y≤3，
第七章 不 等 式