材料力学作业Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT2-4 木架受力如图所示，已知两立柱横截面均为100m m ×100mm 的正方形。

试求：（1）绘左、右立柱的轴力图；（2）求左、右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力。

解：（1）求立柱各节点的受力为了求出ACEG 立柱（左立柱）和BDFH 立柱（右立柱）中的内力和应力，首先对各杆受力进行分析如下图2-4a 所示，并求出数值。

取AB 为研究对象，由平衡方程∑=0)(F m A，0211=⨯'-⨯BF F ①∑=0Y ，01=-'+'F F F B A②联合①和②解得，KN F F B A5='='。

又由牛顿第三定律得，KN F F AA 5='=，KN F FB B 5='=。

同理可得，KN F F CC 9='=，KN F FD D 3='=；KN F FE E 4='=，KNF F F F 12='=。

（2）绘左、右立柱的轴力图取左立柱（ACEG 立柱）为研究对象。

采用截面法，画受力图如图2-4b 所示,求得 )(5KN F N A AC -=-=；)(1495KN F F N C A CE -=--=--=；)(10495KN F F F N E C A EG -=+--=+--=。

同理又取右立柱（BDFH 立柱）为研究对象。

采用截面法求得)(5KN F N B BD -=-=；)(235KN F F N D B BD -=+-=+-=；)(141235KN F F F N F D B FH -=-+-=-+-=。

画轴力图如图左立柱所示和如图右立柱所示。

（3）求左、右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力由轴向拉压正计算公式AN=σ应力得，左立柱上、中、下正应力：MPa mm N A N AC 5.010********3-=⨯⨯-==左上σ； MPa mm N A N CE 4.1100100101423-=⨯⨯-==左中σ； MPa mmN A N EG 1100100101023-=⨯⨯-==左下σ。

右立柱上、中、下正应力：MPa mm N A N 5.010*********BD -=⨯⨯-==右上σ；MPa mm N A N F 2.010********3D -=⨯⨯-==右中σ； MPa mm N A N FH 4.1100100101423-=⨯⨯-==右下σ。

2-9 图示的构架中，AB 为刚性杆，CD 杆的刚度为EA ，试求：（1）CD 杆的伸长；（2）C 、B 两点的位移。

解：（1）CD杆的伸长取ACB 刚性杆为研究对象，画受力图如图2-9a 所示。

由平衡条件∑=0)(F m A，230sin =⨯-⨯︒⋅a F a N CD 得，F N CD 4=⋅。

CD 杆的伸长⋅∆CD l 为：EAFaEA a F EA l N l CD CD CD ⋅=︒⨯==⋅∆33830cos /4。

（2）C 、B 两点的位移ACB 杆位移关系如图2-9b 所示。

CDCD C l l ∆=︒∆=230sin /δ；CD B C l ∆==42δδ。

杆，结构承受载荷为F=50KN 。

设计要求强度安全系数n ≥2，并要求刚性杆只能向下平移而不能转动，竖向位移又不允许超过1mm 。

试计算AC 杆和BD 杆所需的横截面面阿积。

材料的路力学性能如下：AC 杆：E=200MPa σs =200MPa σb =400MPa BD 杆：E=200MPa σs =400MPa σb =600MPa 解：（1）求AC 杆和BD 杆的轴力取AB 杆为研究对象，AC 杆和BD 杆皆为拉杆，由平衡条件∑=0)(F m A，051=⨯-⨯BD F F ①∑=0Y ，0=-+F F FBD AC②联合①和②解得，KN F F AC 4054==；KN F F BD 1051==。

（2）由刚度条件设计AC 杆和BD 杆的横截面面积 刚度条件：][l A E l N l i i i i i ∆≤=∆→iii i E l l N A ][∆≥，则 253310420*********][mm E l l N A AC AC AC AC⨯=⨯⨯⨯⨯=∆≥；24331042001108.01010][mm E l l N A BD BD BD BD⨯=⨯⨯⨯⨯=∆≥。

所以 AC BD A A 10=。

（3）由强度条件设计AC 杆和BD 杆的横截面面积 强度条件：n A N si i i i σσσ=≤=][→siii nN A σ≥，则 2340020010402mm nN A sACACAC =⨯⨯=≥σ；235040010102mm nN A sBD BD BD =⨯⨯=≥σ。

综上刚度与强度要求考虑，250mm A BD =，2500mm A AC =。

2-19 图示结构中各杆的刚度EA 相同，试求各杆的轴力。

解：取节点C 为研究对象，画受力图如图2-19（b ）a 所示，列平衡方程为∑=0X ，045sin 45sin =︒⋅+︒⋅-CB CAN N， ①∑=0Y ，045cos 45cos =-︒⋅+︒⋅CECB CA N N N ， ②变形协调条件为 CA CD l l ∆=︒⋅∆45cos ③︒⋅=⋅=∆45cos EA lN EA l N l CA CA CA CA ，EAlN F EA l N l l l CE CE ED CE CD ⋅-+⋅-=∆+∆=∆)( ④ 图2-19C联立①、②、③和④得F N N CB CA 207.0==(+)，F N CE 293.0=(﹣)，F N CD 707.0=(+)。

2-21 图示结构中钢杆1、2、3的横截面面积均为A=200mm 2，长度l=1m ，E=200GPa 。

杆3因制造不准而比其余两根短了δ=0.8mm 。

试求将杆3安装在刚性梁上后三杆的轴力。

解：取刚性梁为研究对象，画受力图如图2-21a 所示，列平衡方程：∑=0)(1F m，0232=⨯-⨯a F a F ①∑=0Y ，②2-21b 所122)(ll l l ∆+∆+∆+∆=δ ③物理方程为EA l F l 11=∆，EA lF l 22=∆，EAl F l 33=∆ ④ 联立①、②、③和④得)(33.531KN F F ==(﹢)；)(66.102KN F =（﹣）。

3-4 两块钢板搭接如图所示。

已知两板的宽度均为b=180mm ，厚度分别为t 1=16mm ，t 2=18mm ，铆钉直径d=25mm ，所有构件的材料的许用应力均为：[τ]=100MPa,[σc ]=280MPa ，[σ]=140MPa 。

试求：（1）接头的许用载荷；（2）若铆钉的排列次序相反（即自左向右，第一列是两只，第二列是三只铆钉），则接头的许用载荷为多大解：假设每颗铆钉受力一样。

(1) 求接头的许用载荷由剪切强度条件][4/5/2τπτ≤==d F A Q Q 得N d F 3221024542510054][5⨯=⨯⨯=≤ππτ。

由挤压强度条件 ][5/1C C C C dt F A P σσ≤==得 N dt F C 311056016252805][5⨯=⨯⨯⨯=≤σ。

考虑拉压强度。

板1和板2的轴力图如图3-4a 所示。

由板1求允许载荷：][)3(1σσ≤-==t d b FA N → N t d b F 311023516)253180(140)3]([⨯=⨯⨯-⨯=-≤σ；又由板2求允许载荷：][)3(5/32σσ≤-==t d b F A N →N t d b F 321044118)253180(14035)3]([35⨯=⨯⨯-⨯⋅=-≤σ][)2(2σσ≤-==t d b F A N → 所以 许用载荷[F]=235KN 。

(2)若铆钉的排列次序相反（即自左向右，第一列是两只，第二列是三只铆钉），则接头的许用载荷剪切强度和挤压强度计算同前。

考虑拉压强度。

板1和板2的轴力图如图3-4a 所示。

由板1求允许载荷：][)2(1σσ≤-==t d b F A N → N t d b F 311029116)252180(140)2]([⨯=⨯⨯-⨯=-≤σ；][)3(5/31σσ≤-==t d b F A N →N t d b F 311039216)253180(14035)3]([35⨯=⨯⨯-⨯⋅=-≤σ又由板2求允许载荷：][)3(2σσ≤-==t d b FA N → 所以 许用载荷[F]=245KN 。

3-8 矩形截面（30m m ×5mm ）的低碳钢拉伸试件如图所示。

试件两端开有圆孔，孔内插有销钉，载荷通过销钉传递至试件。

试件和销钉材料相同，其强度极限σb =400MPa ，许用应力[σ]=160MPa ，[τ]=100MPa ，[σC ]=320MPa 。

在试验中为了确保试件在端部不被破坏，试设计试件端部的尺寸a 、b 和销钉的直径d 。

解：（1）求所需拉力F由N A F b 31060)503(040⨯=⨯⨯=≥中σ。

（2）求销钉直径d 由剪切强度条件][42τπτ≤==d F A Q Q 得，)(6.2710010604][43mm Fd =⨯⨯⨯=≥πτπ；由挤压强度条件][C C C C dt F A P σσ≤==得，)(5.3732051060][3mm t F d C =⨯⨯=≥σ 所以销钉直径取[d]=40mm 。

（3）求边尺寸a 和b 由由剪切强度条件][2ττ≤==ta F A Q Q 得，)(60100521060][23mm t F a =⨯⨯⨯=≥τ。

由由拉压强度条件][)(σσ≤-==d b t FA N 得，)(1154016051060][3mm d t F b =+⨯⨯=+≥σ。

4-1圆轴受力如图所示m KN M ⋅=11，m KN M ⋅=6.02，m KN M ⋅=2.03，m KN M ⋅=2.04。

（1）作轴的扭矩图。

（2）若外力偶矩1M 、2M 的位置互换，扭矩图有何变化 解：（1）作轴的扭矩图 如图4-1a 所示。

图4-1图（2扭矩为max 1000T N m =⋅。

4-10 两段直径均为d=100mm 的圆轴用法兰和螺栓连接成传动轴，如图所示。

已知轴受扭时最大切应力τMax =70MPa ，螺栓的直径d 1=20mm ，并布置在D =200mm 的圆周上，设螺栓的许用切应力为[τ]=60MPa ，试求所需螺栓的个数。

解：（1）求圆轴上的扭矩16/3d MMaxπτ= → mm N d M Max .10374.1167010016733⨯=⨯⨯==πτπ。