第十四章 静电场中的导体和电介质 赵纯编第十四章 静电场中的导体和电介质1. 一带电的平行板电容器中，均匀充满电介质，若在其中挖去一个球形空腔，如图所示，则A 、B 两点的场强（ ） A ．B A E E > B. B A E E < C ．B A E E = D. 0=>B A E E 答案：B解：σ==B A D D ，rA E εεσ0=εσ=B E B A E E <2．点电荷+Q 位于金属球壳的中心，球壳的内、外半径分别为R 1,R 2，所带净电荷为0，设无穷远处电势为0，如果移去球壳，则下列说法正确的是：（1） 如果移去球壳，B 点电势增加 （2） 如果移去球壳，B 点电场强度增加 （3） 如果移去球壳，A 点电势增加 （4） 如果移去球壳，A 点电场强度增加 答案：（3）球壳内，外部场强都为204rQ E πε=移去球壳对A 、B 电场强度大小无影响。

有球壳时，A点电势为⎰⎰∞+=21R R rE d rE d r U 无球壳时⎰∞=rEdr U 显然，移去球壳A 点电势增大3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心做一球形闭合面，则对此球形闭合面（ ） （1） 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。

（2） 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。

（3） 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 （4） 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立图14-1B图14-2答案：B ，高斯定理成立，但由于，高斯面上分布不对称，所以，无法求出场强。

4．如图所示，把一块原来不带电的金属板B ，移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置，设两板面积都是S ，板间距离是d ，忽略边缘效应，当B 板不接地时，两板间电势差=ABU；B 板接地时='ABU 。

解：当B 板不接地B 板感应电荷如上图均匀分布AB 电势差d E U AB ⋅=，由电势叠加原理知022εεσS Q E ==，所以d S Q U AB ⋅=2ε当B 板接地，B 板感应电荷如图均匀分布AB 电势差d E U AB ⋅='，由电势叠加原理知0εεσS Q E ==，所以d S Q U AB⋅='0ε5．如图所示，将两个完全相同的平板电容器，串联起来，在电源保持连接时，将一块介质板放进其中一个电容器C 2的两极板之间，则电容器C 1电场强度E 1，和电容器C 2电场强度E 2，及电场能量W 1，W 2的变化情况：（1） E 1不变，E 2增大，W 1不变，W 2增大（2） E 1不变，E 2减小，W 1不变，W 2减小， （3） E 1减小，E 2增大，W 1减小，W 2增大（4） E 1增大，E 2减小，W 1增大，W 2减小答案（4）+ + + +B++ + +图14-3Bd图14--4 C 1 C 2ε图14-5解：充介质前的C 1，C 2等效电容dSC 200ε=，充介质后的C 1，C 2等效电容dSC rr01εεε+=，所以电容增大。

而总电压不变，分配至C 1，C 2上的电压与电容成反比，又dU E =，所以E 1增大，E 2减小。

C 2充介质前22221Cq W =，充介质后2221221Cq W r r r εεε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='所以W 2减小，而22121Cq W =，q 增大，C 不变，所以W 1增大6．真空中有一带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电量都相等，则 （1） 球体的静电能等于球面的静电能 （2） 球体的静电能大于球面的静电能 （3） 球体的静电能小于球面的静电能 （4） 不能确定 解：答案为（2）根据高斯定理，球面内的场强为0，而球体内的场强r E ∝，球面外和球体外场强均为204rQ E πε=球面的静电能⎰∞=RdV EW 外面2021ε球体的静电能为⎰⎰∞+=RRdV EdV EW 外内体200202121εε显然球体的静电能大于球面的静电能。

二、计算题1．两块无限大平行带电平板，试证明：（1）相向两面的电荷面密度总是大小相等，符号相反；（2）相背两面的电荷面密度总是大小相等，符号相同；（3）设左边导体板带静电荷2/6m c μ+。

求各板面上的电荷面密度。

证明：（1）设两板带电后各面上的电荷面密度分别为：4321,,,σσσσ，做底面（平行于导体板）为S ∆1的柱形高斯面S 1，对其应用高斯定理有1321cos cos cos cos S dsE ds E ds E dsE s ∆⋅+=++=⎰⎰⎰⎰εσσθθθθ侧面右底面左底面由于两底面在导体内，所以，两底上各点场强E 处处为00cos cos ==⎰⎰右底面左底面dsE ds E θθ而S 1侧面的法线方向与场强方向处处垂直，侧面上各点0cos =θ所以0co s=⎰侧面ds E θ，图14-610320S ∆⋅+=εσσ32σσ-=（2）同上，做底面为S ∆2的柱形高斯面S2，对S2应用高斯定理243212cos cos cos cos S dsE ds E ds E ds E s ∆⋅+++=++=⎰⎰⎰⎰εσσσσθθθθ侧面右底面左底面同理：0cos =⎰侧面ds E θ 2432122S S E S E ∆⋅+++=∆⋅+∆⋅εσσσσ右左0412εσσ+=∴==E E E E 右左再做一柱形高斯面S3，S3的左底3S ∆上场强为E ，右底在导体内的场强处处为0，所以3013S S E ∆⋅=∆⋅εσ 01εσ=E所以有41010412σσεσεσσ=⇒=+ （3）按题意 684321=+=+σσσσ利用上面结果4132,σσσσ=-=得232241/1/7mC mC μσσμσσ=-=== 2．一半径为a 的接地导体球外有一点电荷，它与球心的距离为b 。

试求导体球上的感应电荷q ’。

解：点电荷q 在球心处产生的电位为bq U004πε=球面上感应电荷元dS q d σ'='在球心处产生的电位为adSdU0024πεσ'=，则感应电荷q '在球心处的电位aq dS aadSdUU ss00002024414πεσπεπεσ''='==⎰⎰⎰球心处等于零的电位是044000201='+=+aq bq U U πεπε从而求得球面上得感应电荷q b a q -='图14-73．点电荷C q 10100.4-⨯=处在导体球壳的中心，壳内外半径分别为R 1=2.0cm ，R 2=3.0cm ，求（1）导体球壳的电势（2）离球心r=1.0cm 处的电势；（3）把点电荷移离球心1.0cm ，再求导体球壳的电势解：(1)导体球壳的电势（2）离球心r 处的电势（3）把点电荷移离球心 1.0cm ，此时并不影响导体球壳外表面的电荷及球外电场分布。

因为导体球壳是等势体，所以在其上任取两点电势差为零，即，而球壳上任意两点到无穷远经历的路径一样，所以球壳上任意两点的场强一样，所以任意两点对应的面电荷密度相同，故此问电 势与第（1）问相同，等于120V 。

*3．半径为R 的导体球，带有电荷Q ，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分别为a ，b ，相对介电常数为r ε，如图所示，求：（1）介质内外的电场强度E 和电位移D 。

（2）介质内的电极化强度P 和介质表面上的极化电荷面密度σ'。

（3）离球心O 为r 处的电势U 。

（4）如果在电介质外罩一半径为b 的导体薄球壳，该球壳与导体壳构成一电容器，这电容器的电容多大？解：由高斯定理和静电平衡条件：∑⎰=⋅Q S d E sε或∑⎰=⋅Q S d D s当r<R 时，D 1=0,E 1=0当R<r<a 时，202224,4r Q E r Q D πεπ==当a<r<b 时，203234,4rQ E rQ D r επεπ==图*14-8图14-82229102249104104 3.010120()R R q U E d r drrq R V πεπε∞∞--==⨯⨯⨯==⨯=⎰⎰2121222212910222()44()4111(4910410111(1.0102.0103.010300()R R R rR R U E d r qq q dr drrrq q q dr r q rR R V πεπεπεπε∞∞----=+-=+++-+=-+=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰ 22120R R U E d r E d r ∞∞∆=-=⎰⎰当r>b 时，204244,4rQ E rQ D πεπ==以上E ，D 方向均为径向，设Q 为正，则背离球心。

（2）介质内的极化强度 22003004114)1()1(r QrQ E E D P r r r r πεεπεεεεεε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=方向为径向，背离球心。

电介质内外表面上的极化电荷面密度为：24)11(aQP r a aπεσ--=-='24)11(bQP r b bπεσ-=='（3）当R r ≤时+-+-+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞)11(4)11(400043211b aQa RQ r d E r d E rd E r d E r d E U r bbaaRR rrεπεπε)01(40-+bQ πε⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=)11)(11(140b a RQ r επε当a r R ≤≤时+-+-=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞)11(4)11(4004322baQarQ r d E rd E r d E r d E U r bbaarrεπεπε)01(40-+bQ πε⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=)11)(11(140b a rQ r επε当b r a ≤≤)01(4)11(400433-+-=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞bQbrQ rd E r d E r d E U r bbrrεπεπε⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=b r Q r 1140επε当b r ≥时rQ r d E r d E U rr0444πε=⋅=⋅=⎰⎰∞∞（4）bU U Q VQ C -==1b Qb a RQ Qr 004)11)(11(14πεεπε-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==)11(1)11(40baa R r -+-επε4．半径为r 1和r 2（r 1<r 2）互相绝缘的二个同心球壳，现把+q 的电量给予内球时，问： （1） 外球的电荷分布电势。

（2） 把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷分布及电势（3） 然后把内球接地，内球的电荷分布及外球的电势改变量。