吉林省2013年高考复习质量监测理科数学第I 卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A=﹛x ︱-1<x<21﹜,B=﹛x ︱x21log>0﹜,则A ∩B 为A (-1,1)B (0,1)C （0，21） D ￠(2)已知z=ii -+11，其中i 是虚数单位，则z+z 2+z 3+…+z 2013的值为A 1+iB 1-iC iD -i（3）设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤--,0,0,023y y x y x 则z=-2x+y 的最小值为A －34 B －1 C 0 D 1(4)已知ππ<<a 2，cosa=k 则sin(π+a)=Akk 21- B-kk 21- C 21k - D-21k -(5)在6道题中有道理综题和3道文综题如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次投到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为A21 B31 C52 D53（6）92)1(x x-的展开式中的常数项为A 84B －84C 504D －504（7）已知三棱锥S —ABC 的四个顶点都在半径为1的球面上，底面ABC 是正三角形，SA =SB = SC ，且平面ABC 过球心，则三棱锥S-ABC 的体积是A433 B33 C43 D123（8）将函数y =3sin2x 的图象向右平移4π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为A y =3sinxB y = -3cosxC y = 3sin4xD y =-3cos4x（10）已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则它的俯视图可能是（11）已知互相垂直的两条直线y=kx 和y=-kx 分别与双曲线2x 2-y 2=1交于点A ，B ，点P在线段AB 上，且满足OP OB OP OA ..=则所有的点P 在A 双曲线2x 2-y 2=1上B 圆x 2+y 2=1上C 椭圆1222=+y x上 D |x|+|y|=1上（12）已知函数f(x)= ⎩⎨⎧<<-≤<,63),6(30|,lg |x x f x x 设方程f(x) =2-x + b (b ∈R)的四个不等实根从小到大依次为x 1 ,x 2, x 3 ,x 4, 对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为①0 < x 1·x 2 < 1或0<(6-x 3).(6-x 4)<1 ② 0 < x 1·x 2 < 1且(6-x 3).(6-x 4)>1 ③ 0 < x 1·x 2 < 9或9 < x 3·x 4 < 25 ④ 0 < x 1·x 2 < 9且25 < x 3·x 4 < 36A 1B 2C 3D 4第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、设单位向量a,b 的夹角为60°，则∣a + 2b ∣= .14、若执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 。

15 由直线y=x-3，曲线y=x 2以及x 轴所围成的图形的面积是_____16设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且4π<B<2π，acosB-bcosA =53c,则tan2B ·tan 3A 的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）已知数列﹛a n ﹜中，a 1=2,a n =112--n a ),2(*N n n ∈≥.(I)设b n =11-n a *N n ∈，求证：数列﹛b n ﹜是等差数列（II ）设c n =2·1+n n b b (*N n ∈)，求数列﹛c n ﹜的前n 项和S n 。

18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥A-BCC1B1中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直，D为CC1中点（I）求证：BD ⊥AB1 ：（II）求二面角B－AD－B1的余弦值。

19、（本小题满分12分）某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。

下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的徒手在决赛时拥有“优先挑战权”。

（I ）从进入决赛的选手中随机抽出2名，X 表示其中恰有“优先挑战权”的人数，求X 的分布列（II ）请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择导师有关？下面临界值表仅供参考：参考公式：K 2=))())(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++- ],其中n = a +b +c +d20、(本小题满分12分)如图，已知点A（0，1），点P在圆C：x2 + (y +1 )2 = 8上，点M在AP上，点N在CP上，且满足AM = MP，NM ⊥AP，设点N的轨迹为曲线E。

(I)求曲线E的方程；(II) 过原点且斜率为k(k>0)的直线l交曲线E于F，H两点，直线FO交曲线E于另一点G，求ΔFHG的面积最大值21、（本小题满分12分）设函数f(x) =x2 + bx - a·lnx.(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和x0是函数f(x)的两个不同零点，且x∈(n,n+1),n∈N，求n(II) 若对任意b∈[ - 2 ,- 1 ], 都存在x∈（1 ，e ）(e 为自然对数的底数)，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时请写清题号。

22、(本小题满分10分) 选修4-1： 几何证明选讲如图，已知ABCD 为直角三角形，其中∠B =∠C = 90°，以AD 为直径作⊙O 交BC 于E ，F 两点。

证明：(I) BE = CF(II) AB ·CD = BE ·BF23、（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P （0，21） ，且倾斜角为150°.以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为0cos 22=+θρρ =0 (θ为参数，ρ> 0).I 、写出直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程：II 、设直线l 与圆C 相交于A,B 两点，求 ︱PA ︱ ·︱PB ︱的值。

24、（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲已知f(x) = ︱ax + 1︱ (a ∈R)，不等式f(x) >5的解集为﹛x ︱x>2或x<-3﹜. (I)求a 的值；(II) 若不等式f(x) –f(2x ) ≤k 在R 上有解，求k 的取值范围。

吉林省2013年高考复习质量监测 理科数学试题答案及评分参考评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题 （1）（B ） （2）（C ） （3）（A ） （4）（D ） （5）（D ） （6）（B ） （7）（C ） （8）（D ） （9）（A ） （10）（C ） （11）（B ） （12）（C ） 二、填空题（13） （14）5 （15）18 （16）-512 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）∵112n n a a -=-，∴112n na a +=-. ∴111111111111121n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==------，……………4分∴{}n b 是首项为11121b ==-，公差为1的等差数列. ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n b n =， ∵211111()(2)22n n n c b b n n n n +===⋅-⋅++，……………………………………8分∴1111111111[(1)()()()()]232435112nS n n n n =-+-+-++-+--++1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． ……………………12分（18）解：（Ⅰ）证明：取B C 中点O ，连结1,AO O B ．A B C △为正三角形，AO BC ∴⊥．平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11,BC C B BC =A O ⊂平面,ABC A O ∴⊥平面11BCC B ，∴AO BD ⊥．………………………………………4分∵正方形11BCC B 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， ∴1OB BD ⊥.又1AO OB O = ，BD ∴⊥平面1AO B ，1BD AB ∴⊥． ……………………………………6分（Ⅱ）取11B C 中点E ，以O 为原点，分别以OB 、OE 、O A的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设2BC =.由题意知(00A ，，(1,0,0),B (110)D -，，，1(120)B ，，，则(10AB =- ，，，(210)BD =- ，，，(11D A =-，，1(210)D B =，，， ……………8分设()n x y z =，，是平面1ADB 的法向量，则100n n D A D B ⋅⋅⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即020x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，，可取(12n =-，同理，设m 是平面ABD 的法向量，可取(123m =，，∴cos 4，⋅<>==⋅n m n m n m∴二面角1B ADB --的余弦值4………………………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ……2分 根据题意，X 的可能取值为012，，.21021315(0)26C P X C ===，113102135(1)13C C P X C ===，232131(2)26C P X C ===.X…………………………………6分 （Ⅱ）22⨯ 9分240(3101017) 5.584 5.024,13272020k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯根据列联表中的数据，得到因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关.…………12分（20）解：（Ⅰ）NM 为AP 的垂直平分线，∴|NA|=|NP|，又∵|CN|+|NP|=22，∴|CN|+|NA|=22>2.∴动点N 的轨迹是以点(01)C -，，(01)A ，为焦点的椭圆， ……………………3分 且长轴长222=a ，焦距22c =，∴1,1,22===bc a ，∴曲线E 的方程为2212yx +=． ……………………………………………………5分（Ⅱ）⑴ 当直线l 与y 轴重合时，FH G ∆不存在. ⑵ 当直线l 与y 轴不重合时，设直线l 的方程为1,y kx =+1122(,),(,)F x y H x y ，则11(,),G x y -- 由221,22,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(2)210,k x kx ++-= …………………………………………………7分FH ∴==∴点G 到直线l的距离d ===1122FH G S FH d ∆=⨯⋅=122==………………………10分设211,t k =+≥则112 FH GS∆===≤=此时，1,t=0.k=………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）()2af x x bx'=-+，∵2x=是函数()f x的极值点，∴(2)402af b'=-+=.∵1是函数()f x的零点，得(1)10f b=+=，由40,210,abb⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1a b==-. ………………………………………………2分∴2()6lnf x x x x=--,6()21f x xx'=--，令2'626(23)(2)()210x x x xf x xx x x--+-=--==>，(0,)x∈+∞，得2x>；令'()0f x<得02x<<，所以()f x在(0,2)上单调递减；在()2,+∞上单调递增. ………………………………4分故函数()f x至多有两个零点，其中1(0,2),∈(2,)x∈+∞，因为()()210f f<=，()()361ln30f=-<，()()2462ln46ln04ef=-=>，所以()3,4x∈，故3n=．…………………………………………………………6分（Ⅱ）令2()lng b xb x a x=+-，[]2,1b∈--，则()g b为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b∈--，都存在(1,)x e∈，使得()0f x<成立，则2max()(1)ln0g b g x x a x=-=--<在(1,)上e有解，令2()lnh x x x a x=--，只需存在(1,)x e∈使得()0h x<即可，由于'()h x=2221a x x axx x----=，令2()2,(1,)x x x a x eϕ=--∈，()410x xϕ'=->，∴()xϕ在(1，e)上单调递增，()(1)1x aϕϕ>=-，………………………………9分①当10a-≥，即1a≤时，()0xϕ>，即()0h x'>，()h x在(1，e)上单调递增，∴()(1)0h x h>=，不符合题意.②当10a-<，即1a>时，(1)10aϕ=-<，2()2e e e aϕ=--若221a e e≥->，则()0eϕ<，所以在(1，e)上()0xϕ<恒成立，即()0h x'<恒成立，∴()h x在(1，e)上单调递减,∴存在(1,)x e∈，使得0()(1)0h x h<=，符合题意.若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1，e)上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m)上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立， ()h x 在(1，m)上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.综上所述，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.………………………………………12分（Ⅱ）方法二 2'2()2a x bx af x x b xx+-=-+=，(1,)x e ∈，设()()22,1,g x x bx a x e =+-∈，因为[]2,1b ∈--，所以()g x 在()1,e 上单调递增，且()12g b a =+-， （1）当()10g ≥，即2a b ≤+时，因为[]2,1b ∈--，所以0a ≤.此时()()10g x g >≥，所以()0f x '>在(1,)e 上恒成立；即()f x 在(1,)e 上单调递增. 若存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则()110f b =+<，即1b <-恒成立. 因为[]2,1b ∈--，则1b =-时不成立，所以0a ≤不成立. ………………………9分 （2）因为[]2,1b ∈--，所以()110f b =+≤，当()10g <，即2a b >+时，因为[]2,1b ∈--，所以1a >.此时，（i ）当()0g e <时，()0g x <在(1,)e 上恒成立，则()f x 在(1,)e 上单调递减. 因为()10f ≤，所以存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.（ii ）当()0g e ≥时，则存在()01,x e ∈，使得()00g x =，因为()g x 在()1,e 上单调递增，所以当()01,x x ∈时，()0g x <，则()f x 在0(1,)x 上单调递减；因为()10f ≤，故在()01,x 内存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.综上：满足条件的a 的取值范围为1a >.………………………………………12分 （22）证明：（Ⅰ）过O 作OG ⊥EF ，则GE ＝GF ，OG ∥AB ． ∵O 为AD 的中点，∴G 为BC 的中点．∴BG ＝CG ， ∴BE ＝CF. ………………………………5分 （Ⅱ）设CD 与⊙O 交于H ，连AH ，∵∠AHD ＝90°， ∴AH ∥BC, ∴AB ＝CH ．∵CD·CH ＝CF·CE ，∴AB ·CD ＝BE ·BF. …………………………………………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）由已知得，·A B CD EF H O G直线l的参数方程为2()1122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，， …………………………………3分 圆C 的直角坐标方程为2220x x y ++=. ……………………………………5分（Ⅱ）将2()1122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，代入2220x x y ++=，整理得24(210t t +-+=，设方程两根分别为12,,t t 则121,4t t ⋅=根据参数t 的几何意义，得点P 到A B ，两点的距离之积为121||4t t =. …………10分（24）解：（Ⅰ）由|ax ＋1|＞5得4ax >或6ax <-． 又f(x)＞5的解集为{x|2x >或3x <-}，当a ＞0时，4x a>或6x a<-，得a ＝2．当a ≤0时，经验证不合题意．综上，2a =. ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）设g(x)＝f(x)－()2x f ，则(),1,132,1,21,,2≤＝≥x x g x x x x x ⎧⎪--⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-⎪⎩则函数()g x 的图象如下： 由图象可知，g(x)≥12-，故原不等式在R 上有解时，k ≥12-．即k 的取值范围是k ≥12-．……………………………………………………10分。