中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）424424的值为（满足），则．1．已知实数y?3?y，y???3y，x424xxx 1?137?13（C）（D）5 （A）7 （B）22 A）【答】（22y，，由已知条件得因为0≥解：0?x13?3?1???3113?1?1?4412??4?42???y?，，2284x24224227．所以??y6?3?3?y???y?422xxx22?2(?)?(?)?3?022?2222为根的一元二次方另解：由已知得：，以，显然y,?y??xx?22xx?22?3y?(y0)??222220??t?3t程为，所以3?y? (??)?)?y??1,(22xx42242222y?＝故?2?][(??(?1)2??(?3)?7)?yy?()?422xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先2?mx?ny?x的图象与m后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为，n，则二次函数x轴有两个不同交点的概率是（）．54171 （A）（B）（C）（D）923612．C）【答】（ . 由题意知，即可以得到36个二次函数解：基本事件总数有6×6＝3622.＞0，即＝4＞mn?4mn?17. 对. 故17通过枚举知，满足条件的有?Pnm，36个点6个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这3．有两个同心圆，大圆周上有4 ．)可以确定的不同直线最少有(条）12 （D （C）10条 6 （A）条（B）8条）（B【答】，两两连线DC，个不同的点A，B，解：如图，大圆周上有4中，至少有一FE，可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点，CB，BD的交点，则它与A，个不是四边形ABCD的对角线AC与的两两连线．从而这DC，A，B，D的连线中，至少有两条不同于条．个点可以确定的直线不少于86 3题）（第条直线．个点如图所示放置时，恰好可以确定8当这6 8条．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有内作正△．以为一边在圆4．已知是半径为1的圆的一条弦，且O?1OAB?aABAB，则的延长线交圆于点A的一点，且，，点为圆上不同于点ODCDB?ABABC?OaED）．的长为（AE35a D）a1 （C（A））（（B）22（B）【答】?设，则OA，OB．解：如图，连接OE，?D??．EAC?120????ECA?4题）（第11????又因为，2180?????ABO?ABD??60???12022≌所以，于是．1?AE?ACE△OA△ABO AFAB为半径，以点B为圆心，另解：如图，作直径EF，连结FO上，，则点＝BC＝BDA，C，D都在⊙B ，因为作⊙BAB ECD11??60?30??EDA??CBA???F由22AB1??30??AE?EFsim?F2?sim所以3，4，，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续，．将512 ．）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（．5种（D）种（C）4种（A）2种（B）3 D）【答】（5的一个满足要求的排列．，4，是1，2，3解：设aa，，a，a，a51432，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，首先，对于a，a，a，a4123与已知条件矛盾．是奇数，这说明一个偶数后面一定要是奇数，则≤3）是偶数，又如果（1≤i aaa2ii?1i?接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．种情形满足条件：所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5a，a，a，a，a54213；1，4，3；2，5，，，，1，34，5；2，3，5，41 2 ．，1，3，25；4，54，3，1，2，30分）6二、填空题（共5小题，每小题分，满分1的方程x*”为：．若关于．对于实数u，v，定义一种运算“6??a?x)x?(vu?v?uv?4．有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是【答】，或．1a?0?a?112，解：由，得0?1)x??(a?1)x??(a?x?(a?x)44，01?a??依题意有?2，?0(?a?1)??(a?1)?，或．解得，1a??a?0分钟从迎路公交车，每隔36分钟从背后驶过一辆187．小王沿街匀速行走，发现每隔路公交车总站每隔路公交车行驶速度相同，而且1818路公交车．假设每辆18面驶来一辆分钟．固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是．【答】4y x分，同向行驶的相邻两车/路公交车的速度是米米/分，小王行走的速度是解：设18s的间距为米．①．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s6xy??6②．分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3每隔sy3x?3?s4?，所以由①，②可得．xs?4x分钟．418即路公交车总站发车间隔的时间是题）8（第BC的中点，，点M是．如图，在△中，AB=7，AC=118ABC FC的长为AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则．9．【答】AB，则MN∥如图，设点N是AC的中点，连接MN解：．又，所以MFN????BAD?MF//AD?DAC?FMN，1．所以?FNAB?MN2 8题答案）（第119．因此?NC?AB?AC?FC?FN E22交BA的延长线为E，延长MF另解：如图，过点C作AD的平行线交N.于点AE N则ACE??DAC???E??BAD A F CENF//CEAE?AC?11FN是等腰梯形，，所以四边形所以.又11B911)??BE?(7CF?EN??C即MD22，分别与DE∥BC的内切圆圆心CA＝9，过△ABCI作．△9ABC中，AB＝7，BC＝8，．，则AB，AC相交于点D，EDE的长为16【答】．3 r，b，c，内切圆I的半径为解：如图，设△ABC的三边长为a，h，则BC边上的高为a11，r?c)?ahS?(a?b ABCa△22（第9题答案）ar?．所以cah?b?a r?hDE a?，，所以它们对应线段成比例，因此因为△ADE∽△ABC BCh a rh?)?ca(bar a)a?(?1??a?DE?(1a)?，所以c?b?ahhc?b?a aa619?（7?）8?DE?．故37?9?812?4?3?5?125另解：＝cb?a?125S25?122?p5?r?△ABC???35h所以（这里，）a2128a r?h25DE35?a，得ADE∽△ABC，由△???3BCh a216即?DE??BC3322的所有正整数解为．关于x，y的方程．10)?y?208(xx?y x?48，x?160，??【答】??y?32，y?32.??解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则b?2?2a,yx22，)?b?104(aa?b同上可知，a，b都是偶数．设，则d?22c,ba?22，)d?52(cc??d所以，c，d都是偶数．设，则t2s,d?c?222?26(st?ts)?，22213)??((s?13)t，＝于是132?其中s，t都是偶数．所以22222213)13??(s(?13)t?2?．≤11?1315?2?213?s13)?(t为337，329，进而，313，289，257所以，故只能，可能为1，3，57，9s?6，s?20，??2s?1313)t?(＝7．于是，从而＝289是??t?4；t?4，??，x?16，0x?48??因此??，y?32.y?32?? 2222?104)21632,y?210421632?(?104)y104)x(??(??则有因为另解：又y正整数，所以43?y?1．22令21632by?104|,则a???a|x?104|,b?|95，6，因为任何完全平方数的个位数为：1，4，2222 6和6；的个位数只能是1和由1或知ba,21632a??b229的个位数字可以为1当或和的个位数是11时，则ba,ba,22的十位数字为但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与3矛盾。

ba?22或6。

的个位数是6和6时，则当的个位数字可以为4ba,ba,22代入，136，144，146134取＝106，114，116，124，126，，由21632a??b b105?b?147160x?|?56x?48|x?104???解得得，只有当＝136时，=56，即a b,???32y??136y?32|y?104|???分）题，每题三、解答题（共415分，满分60轴的正半轴分别轴、在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与11．y xb?y?kx）0（k?3?OA?OB OAB，B两点，且使得△的面积值等于．交于A；用b表示k（1）求△OAB面积的最小值．（2）b．；令，得解：（1）令，得0kx????0，0?b?0yy?b，0?x kb，于是，△OAB的面积为所以A，B两点的坐标分别为)，b0)，B(0A（?，kb1．)?S?b(?k2b1b，由题意，有3???b?b?(?)k2k2b2b??k 分，．……………… 5解得2b?)32(b?210b?2)(?3)b?2)??7(1bb(b?(?)S??b?）知）由（（212b?2kb?21010210?)?72(?7?b?2?2?b??107?2≥，22b?b?10102?7+210b??S?b?2不等式中的等号成立．，时，有即当当且仅当时，，1?k?2?b7?210分15………………．面积的最小值为ABC所以，△2有有理数根？q，使得关于x的一元二次方程12．是否存在质数p，0?qx?pxp?222，解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令n4p??q??2分其中n是一个非负整数．则．……………… 5p?4(q?n)(q?n)与同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：q+n，且1由于≤≤n?qq?nnq?，?4，q?nq?n?22，2q?nppq?n?，????，?pq?n???????22，4，2q?n?ppq?n?4.nq?n?p，?q?qn?2p，??????22p5pp2?2q?，q?2p，q?p?1，q?2?，q?分．………………消去n，解得 10 222（不4，从而q＝5；对于第2，5种情形，种情形，对于第1，3，从而q＝2p?p?2．种情形，q是合数（不合题意，舍去）合题意，舍去）；对于第412它的根为，＝5时，方程为它们都是有理数．，，又当q0?x?2x2?52x?，x?2?px0b?x?2ax?xx，ba, 212综上所述，存在满足题设的质数……………… 15分2为正整数，关于，的方程★12、已知的两个实数根为2122008?xy?xyy，y y0??2ay?by.且满足的两个实数根为，关于的方程212121b.的最小值求b?,yy2?by?y??a,x?x?2a xx；：由韦达定理，得另解21212211)x?(?(?x) ??x)yy???2a??(x?211221,即?)x)(??b?(?xyy?2211xy??y??x??2111或解得：??xy??y??x??12222008?(?x)?y?2008x(?x)xxyy,xy?的值分别代入得把21221211122008??x)?x(x)?x(或（不成立）1212222008)?x?)(x?x(x2008?x?x即，1221120x?0x?b?x?0,xaxx??2?0,因为所以22111222?b?502?1?a20084aa24?b?a502?2?251于是有即251?2aa?505a?a?1????或或或因为a,b都是正整数，所以????2222224??bb?251a502b?a?b?1a?a?????251?2a?502a?a?1a????或或或分别解得：????22224251??2251b?502b?502?1b?b?1?????251a?a?502??，.符合题意经检验只有：??224251??1b?b?502??262997＝?251?4b的最小值为：所以b最小值倍的213．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角？证明你的结论．△ABC 存在满足条件的三角形．解：5??6ca4?b 分，时，当△ABC的三边长分别为．……………… 5，B?A?2?ACD 为等腰三角．连接CD，则△如图，当时，延长BA至点D，使bAC?AD?B2??A?ACDBAC?，所以形．因为的一个外角，所以．由已知，为△B2?D??BAC??BAC?2CBD ．所以△为等腰三角形．D?B??CBDACDCBDACD 与△∽△为△的一个公共角，有△，于是又D?aADCDb，，即??cab?CDBD??2．所以cb?ba?（A）题答案）（第1325)6?4?(4?而，所以此三角形满足题设条件，……………… 15分故存在满足条件的三角形．满足条件的三角形是唯一的．说明：??2cab?b?．有如下三种情形：若，可得B?A?2?n?nc1n??a?c?ba1?b?n ，时，设，（）当（i为大于1，的正整数）??2??????25c?a?64b?n?5cb?a?b代入，，得；，有，解得，12n?1??n1?nnna?bc?a?1?n?b1c?n?，，（ⅱ）当1（，的正整数）时，设为大于????223c?2b?1a?cb?ab?，此时不能构成，，有，解得，得代入，2?n n?n12n??三角形；n1?a?na?b?cn?b1?n?c ，为大于，时，设1（，（ⅲ）当的正整数）??????222c?b?ba0?n?n1?3代入，即，得，此方程无整数解．1n?1n?2?n倍的三角形2所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的构成的三角形满足条件．，6存在，而且只有三边长分别为4，5b,cba,?bAC,?BCa ?,ABc,,a且都是整数，的三边长ABC△如图，、13★．?GIC?90?，求△ABCABC的重心和内心，且的最大公约数是2。