平面向量数量积的性质及其运算1．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
→→→→→→
设푎，푏都是非零向量，푒是与푏方向相同的单位向量，푎与푏和夹角为θ，则：
→（1）푎⋅→
푒=
→
푒
⋅
→→
푎=
|푎|cosθ；
→（2）푎⊥→→
푏⇔푎
⋅
→
푏= 0；（判定两向量垂直的充要条件）
→→→（3）当푎，푏方向相同时，푎⋅→→→→→→
푏=
|푎||푏|；当푎，푏方向相反时，푎⋅
→→→
푏=―
|푎||푏|；
→特别地：푎⋅→→→
푎= |푎|2 或|푎| =→푎
⋅
→
푎（用于计算向量的模）
（4）cosθ=
→→
푎⋅푏
（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）→→
|푎||푏|
→（5）|푎⋅→→→푏|≤|푎||푏|
2、平面向量数量积的运算律
→（1）交换律：푎⋅→
푏=
→
푏
⋅
→
푎；
→→→
（2）数乘向量的结合律：（λ푎）•푏=λ（푎⋅→
푏）=
→→
푎•（휆푏）；
→（3）分配律：（푎⋅→→
푏）•푐
≠
→→
푎•（푏
⋅
→
푐）
【平面向量数量积的运算】
→→
平面向量数量积运算的一般定理为①（푎±푏）2 =→→→
푎2±2푎•푏
+
→→
푏2．②（푎
―
→→
푏）（푎+
→
푏）=
→
푎2 ―
→→→→
푏2．③푎•（푏•푐
）
→→→
≠（푎•푏）•푐，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
1/ 3
→①“mn＝nm”类比得到“푎⋅→
푏=
→
푏
⋅
→
푎”
→
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（푎+→→
푏）•푐
=
→
푎
⋅
→
푐+
→
푏
⋅
→
푐”；
→→③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“푐≠0，푎⋅→
푐=
→
푏
⋅
→→
푐⇒푎=
→
푏”；
→④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|푎⋅→→→
푏|＝|푎|•|푏|”；
→
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（푎⋅→→
푏）•푐
=
→→
푎⋅(푏
⋅
→
푐)”；
푎푐⑥“
푏푐
=
→
푎
푎
⋅
→
푏”类比得到
푏
⋅
→
푐
→
푐
=
→
푏
→
푎
．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．
解：∵向量的数量积满足交换律，
→∴“mn＝nm”类比得到“푎⋅→
푏=
→
푏
⋅
→
푎”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
→∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（푎+→→
푏）•푐
=
→
푎
⋅
→
푐+
→
푏
⋅
→
푐”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
→→∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“푐≠0，푎⋅→
푐=
→
푏
⋅
→→
푐⇒푎=
→
푏”，
即③错误；
→∵|푎⋅→→→
푏|≠|푎|•|푏|，
→
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|푎⋅→→→
푏|＝|푎|•|푏|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
→∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（푎⋅→→
푏）•푐
=
→→
푎⋅(푏
⋅
→
푐)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
2/ 3
푎푐∴
푏푐=
→
푎
푎
⋅
→
푏”不能类比得到
푏
⋅
→
푐
→
푐
=
→
푏
→
푎
，
即⑥错误．
故答案为：①②．
→向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“푎⋅→
푏=
→
푏
⋅
→
푎”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝
→mt+nt”类比得到“（푎+→→
푏）•푐
=
→
푎
⋅
→
푐+
→
푏
⋅
→
푐”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类
→→比得到“푐≠0，푎⋅→
푐=
→
푏
⋅
→→
푐⇒푎=
→→
푐”；|푎
⋅
→→→→
푏|≠|푎|•|푏|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|푎
⋅
→→→
푏|＝|푎|•|푏|”；向
→
量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（푎⋅→→
푏）•푐
=
→→
푎⋅(푏
⋅
→
푐)”；向量的数量积
푎푐不满足消元律，故푏푐=
→
푎
푎
⋅
→
푏”不能类比得到
푏
⋅
→
푐
→
푐
=
→
푏
→
푎
．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
3/ 3。