数学学院
第五章 留数及其应用
5.4 留数在计算实积分中的应用(2)
数学与统计学院
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定理1 设 R(cos , sin ) 分母不为零；则
2π
0
R(cos
, sin
)d
f (z)dz
z 1
n
2π i Res f (z), zk .
k 1
其中：f
(z)
R
z2 1 ,
2z
z2 1
2iz
zk
x
lim f (z)ei zdz 0,
R
R o
R
CR
f ( x)ei xdx 2 i
n
Re s[ f ( z)e i z , zk ].
k 1
f ( x)[cos x i sin x]dx 2 i
n
Re s[ f ( z)e imz , zk ].
k 1
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例1.计算积分
且在 C 上无零点，则
1
2
i
C
f (z) dz N , f (z)
其中 N 表示 f (z) 在 C 的内部零点的总数 (约定k级零
点按k个零点计算).
证明 f (z) 在 C 的内部只有有限个零点, 记为
z1 , z2 ,
, zn , 它们的重数分别是 1 , 2 ,
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
( x2
cos x 1)( x 2
dx 9)
24e 3
3e2 1 .
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例3. 计算积分 I
x sin x 0 x 2 a 2 dx
(a 0).
z
解 记 f (z) z2 a2 , 则 z0 ai 是上半平面的奇点
1 x sin x
I 2
x 2 a 2 dx
y
CR
(z)
解析，且当 z R0 时, f (z) M
z
, lim M(r ) 0, r
R R0为半径的逆时针方向上半圆周 CR ,都有
CR
lim f (z)ei zdz 0.
R CR
y (z) x
R o
R
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证明 f (z)ei zdz
f ( z )e i ( xiy )dz
CR
同学们辛苦了
CR
(z)
x
R o
R
y y 2 sin
o
2
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定理2
设
f (z)
P(z) Q(z)
是有理函数, Q(z) 在
实轴上没有零点，多项式 Q(z)的次数至少比P(z) 的
次数高1次，z1 , z2 , , zn 是 f (z) 在上半平面内的所有
孤立奇点，则对任何实数 ,0
f ( x)ei xdx 2 i
1 iz
注：1.被积函数的转化
2.积分区域的转化
| zk | 1
y (z)
zk x
o | z | 1
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二. 有理函数的无穷积分
定理2 设函数 f (z) 在实轴上处处解析,在上 半平面Im z 0 内,除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn，
处处解析,且存在常数 R0 0, M 0, 0, 使得当
z
R0 , 时，f ( z)
M z 1 ,
则
n
f ( x)dx 2 i
Re s[ f ( z), zk ].
k 1
y
CR
(z)
zk
x
Im zk 0
R o
R
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三.有理函数与三角函数乘积的积分
考虑积分 f ( x)cos xdx,
f ( x)sin xdx.
Jordan引理 设 f (z)在区域 z R0 , Im z 0 上
cos x x2 1
dx
.
解
e
ix
x2
dx 1
2
i
Re s[ 1
1 z2
eiz , i]
2
e iz
i
lim
zi
2
z
2
iLeabharlann e 1 2ie.
cos x x2 1
dx
e
.
sin x
x2
dx 1
0.
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例2.计算积分
cos x
( x2
1)( x 2
dx. 9)
解
1 2
Im
xe ix
x2
a2
dx
ai x
R o
R
1 Im 2
2 i Re s f ( z)eiz , ai
ea.
2
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例4 设z z0是解析函数 f (z) 的m 级零点，则
z z0 是
f (z) 的1级极点，则
f (z)
Res
f (z) , f (z)
z0 m.
e ix
( x2
1)( x2
dx 9)
2 i{Res[ f (z)eiz , i] Res[ f (z)eiz , 3i]}
2
i
lim
zi
(z
e iz i )( z 2
9)
lim
z3i
(z2
e iz 1)( z
3i
)
2
i
e 1 16i
e 3 48i
24e 3
3e2 1 .
证明 因为z z0 是 f (z) 的 m 级零点，则在z z0 f (z) (z z0 )m (z), (z0 ) 0,
f (z) m (z)
.
f (z) z z0 (z)
f (z)
Res
, f (z)
z0 m.
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例5 设函数 f (z) 在分段光滑曲线 C 及其内部解析，
n
Re s[ f ( z)e i z , zk ].
k 1
y
f ( x)cos xdx 实部
CR
(z)
f ( x)sin xdx 虚部
zk
x
R o
R
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证明
R f ( x)ei xdx
R
f (z)ei zdz
y
CR
CR
(z)
n
2 i Re s[ f ( z)ei z , zk ]. k 1
CR
f ( z) e yds M ( R) e Rsin Rd
0
CR
2RM ( R) 2 e Rsin d . 0
2 R
2RM ( R) 2 e d 0
M ( R)
2 R
e
2
M ( R) (1 e R ),
0
lim f (z)ei zdz 0.
R CR
y
n
k
k 1
N.
, n.
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本章内容总结 孤立奇点
可去奇点 极点
本性奇点
函数的零点与 极点的关系
留数
计算方法 留数定理
计算 f (z)dz C
零 点
留数在定积分
的 分
计算中的应用
布
1. 2 R(sin , cos )d 0
2.
f ( x )dx
3. R( x )e imxdx
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