兰州一中2012-2013学年度高三第一次月考数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色中性笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效. 参考公式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4A =，{}2,5B =，则)(A C B U =（ ）A .{}5B . {}125，，C . {}12345，，，，D .∅2. 已知随机变量ξ~2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16B ．0.32C ．0.68D . 0.843．9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有（ ） A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种4. ”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（ ） A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5．若η~B (2, p )，且49D η=，则(01)P η≤≤=（ ）A ．59 B ． 49 C ．5499或 D ．5899或 6．给出下列结论：在回归分析中可用（1）可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的是（ ）A ．（1）（3）（4）B ．（1）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）7. 已知命题p :∃m ∈R,sin m ，命题01,:2>++∈∀mx x R x q 恒成立.若q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A .2≥mB .2-≤mC .22≥-≤m m 或D .22≤≤-m 8． 5()a x x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ） A ．-1 B ．12C ． 1D ． 2 9．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3()0()(x a x a x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有0)]()()[(2121<--x f x f x x 成立，则a 的取值范围为（ ）A . ]41,0( B . (0,1) C . )1,41[ D . (0,3)10．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．10m -≤< C ．1m ≥ D ．01m <≤11.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a >b>cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a12．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．)1,41[B ． ),49(+∞C ．)1,43[ D ．)49,1(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．计算:021231)12()972()71()027.0(--+----= .14. 在求两个变量x 和y 的线性回归方程过程中, 计算得51i i x =∑=25, 51ii y=∑=250,521ii x=∑=145,51i ii x y=∑=1380, 则该回归方程是 .15. 设定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +3)=-f (1-x )，若f (3)=2，则f (2013) = . 16. 关于函数)0(||1lg)(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg2；④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多.（1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？ 18．（本小题满分12分）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证： (1)C ，D ，F ，E 四点共圆； (2)GH 2＝GE ·GF .19.（本小题满分12分）已知集合A ={x ∣x 2-3(a +1)x +2(3a +1)<0},B =2<0(1)2x -ax x -a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭, （1）当a =2时，求A ∩B ；（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围. 20．(本小题满分12分)袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n 的球重15522+-n n 克，这些球等可能地从袋中被取出.(1)如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率； (2)如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率；(3)如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，搅拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球.按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求E ξ.21. (本小题满分12分)函数f (x )=log a (x 2－4ax +3a 2), 0<a <1, 当x ∈[a +2,a +3]时，恒有|f (x )|≤1，试确定a 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知,],0(,ln 2)(2e x x ax x f ∈-=其中e 是自然对数的底 . (1)若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； (2)求)(x f 的单调区间； (3)设a xx g e a ln 5)(,12+-=>，存在],0(,21e x x ∈，使得9|)()(|21<-x g x f 成立，求a 的取值范围.兰州一中2012-2013学年高三第一次月考数学试卷参考答案（理科）一、选择题(每小题5，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．-45 14. y=6.5x+17.515. -2 16. ①③④三、解答题（共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）解：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：…………4分（2）2222(10732)6.4181210139k⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，5.024<6.418<6.635 …………8分∴有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关. …………10分18．（本小题满分12分）证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，∴C，D，F，E四点共圆．…………6分(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故GCGF＝GEGD，即GC·GD＝GE·GF. ∵GH为圆的切线，GCD为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF . …………12分 19.（本小题满分12分）解：（1）当a =2时，A =（2，7）B =（4，5）∴(4,5)A B = …………4分 （2）∵B =（2a ,a 2+1）, …………5分 ①当a <13时，A =（3a +1,2） 要使B A ⊆必须 22311,12a a a a ≥+⎧=-⎨+≤⎩此时 …………7分 ②1,3a A B A a ==∅⊆当时使的不存在. …………9分 ③a >13时，A =（2，3a +1）要使B A ⊆， 必须22213131a a a a ≥⎧≤≤⎨+≤+⎩此时. …………11分综上可知，使B A ⊆的实数a 的范围为[1，3]∪{-1}. …………12分 20．(本小题满分12分)解：（1）由15522+-n n >n可得212300,n n -+>……………………1分66n n ><所以，由于35,,13,12,11,10,9,3,2,1,*⋅⋅⋅∈可取所以n N n 共30个数，…………3分 故7635301==P ， ……………………4分 （2）因为是不放回任意取出2球，故这是编号不相同的两个球，设它们的编号分别为12,n n 和由222121515515,22n n n n -+=-+ 2212125(),2n n n n -=-得 ………5分 12n n ≠因为 所以1210,n n +=19283746从而满足条件的球有（，），（，），（，），（，）…………7分故概率为59542=P …………………………………8分 （3）1(1)7P ξ==(2)P ξ=＝6167749⨯=； (3)P ξ=＝66367749⨯=； ∴E ξ.=11636127⨯+2⨯+3⨯=7494949. ……………………12分 21.(本小题满分12分)解：f (x )=log a (x 2－4ax +3a 2)= log a (x －3a )(x －a )∵|f (x )|≤1恒成立，∴ -1≤log a (x －3a )(x －a )≤1 ………………2分 ∵ 0＜a ＜1. ∴a ≤(x －3a )(x －a )≤1a对x ∈[a +2,a +3]恒成立. ………………5分 令h (x )= (x －3a )(x －a ), 其对称轴x =2a . 又 2a ＜2, 2＜a +2, ∴当x ∈［a +2,a +3］时，h (x )min =h (a +2),h (x )max =h (a +3). ……………8分∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤,691,44,)(1,)(max min a a a a x h ax h a 125790-≤<⇒a .………………12分22．（本小题满分12分）解： (Ⅰ) 2222()2ax f x ax x x-'=-=.由已知(1)220f a '=-=, 解得1a =. 经检验, 1a =符合题意. ………… 3分 (Ⅱ) 2222()2ax f x ax x x-'=-=.1) 当0a ≤时，()0,()f x f x '<∴在(0,]e 上是减函数.2)当0a >时，()f x '=.①e <，即21a e>， 则()f x在(0,上是减函数，在,]e 上是增函数； ②e ≥ ，即210a e <≤，则()f x 在(0,]e 上是减函数. 综上所述，当21a e≤时，()f x 的减区间是(0,]e ， 当21a e >时，()f x的减区间是(0,，增区间是,]e . ……… 7分 (III )当21a e >时,由(Ⅱ)知()f x的最小值是1ln f a =+； 易知()g x 在(0,]e 上的最大值是()4ln g e a =--； 注意到(1ln )(4ln )52ln 0a a a +---=+>,故由题设知2(1ln )(4ln )9,1.a a a e +---<⎧⎪⎨>⎪⎩解得221a e e <<.故a 的取值范围是221(,)e e. ……… 12分。