第1讲 课题：椭圆课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日教学目标：（1）了解圆锥曲线的来历；（2）理解椭圆的定义；（3）理解椭圆的两种标准方程；（4）掌握椭圆离心率的计算方法；（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；教学重点：椭圆方程、离心率；教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点的距离和等于常数21F F 、(大于）的点的轨迹叫做椭圆.()a 221F F 说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.()c 2(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数，当时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到e 10<<e 焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：;()0222121>>=+F F a a PF PF (){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在轴: ；x ()012222>>=+b a b y a x 焦点在轴: .y ()012222>>=+b a bx a y 说明：是长半轴长，是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足a b .222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程表示椭圆的条件：()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22上式化为，.所以，只有同号，且122=+CBy C Ax 122=+BC y A C x C B A 、、时，方程表示椭圆；当时，椭圆的焦点在轴上；当B A ≠BCA C >x 时，椭圆的焦点在轴上.BCA C <y 五、椭圆的几何性质（以为例）()012222>>=+b a by a x 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式()y x ,，即说明椭圆位于直线和所围成1,12222≤≤by a x b y a x ≤≤,a x ±=b y ±=的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、轴、轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是x y 椭圆的对称中心。

3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：叫椭圆的长轴，是长半轴长； 叫21A A a a A A ,221=21B B 椭圆的短轴，是短半轴长.b b B B ,221=5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比，（2）ac e =()10,0<<∴>>e c a ,，即.这是椭圆的22F OB Rt ∆2222222OF OB F B +=222c b a +=特征三角形，并且的值是椭圆的离心率.（3）椭圆22cos B OF ∠的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当接近于1时，越接近于，从而越小，椭圆越e c a 22c a b -=扁；当接近于0时，越接近于0，从而越大，e c 22c a b -=椭圆越接近圆；当时，，两焦点重合，图形是0=e b a c ==,0圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为.ab 227.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在21F F 、P 21F F P 、、同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆21F F P 、、的定义知：.c F F a PF PF 2,22121==+ 例题选讲 一、选择题1．椭圆的离心率为（ ）1422=+y x A ．B ．C ．D ．234322322．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则p 2212516x y +=12F F ，等于（ ）12PF PF +A ． 4 B ．5C ． 8D ．103．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，x 1222=+m y x 21则m=（ ）A ．B ．C ．D ．32338324．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦x3点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ． B ．6 C ． D ．12335．如图，直线过椭圆的左焦点022:=+-y x l F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5152555526．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．237．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线 043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．23627224二、填空题：8． 在中，，．若以为焦点的椭圆经过ABC △90A ∠= 3tan 4B =A B ，点，则该椭圆的离心率 ．C e =9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－2，0），且长轴长是短3轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点xOy ABC ∆(4,0)A -(4,0)C 在椭圆上，则 .B 192522=+y x sin sin sin A C B+=11．椭圆长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接4422=+y x 于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．06322=-+m y mx m 13．已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆()03，P b a 3=的标准方程．14．已知方程表示椭圆，求的取值范围．13522-=-+-ky k x k 15．已知表示焦点在轴上的椭圆，求1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤y 的取值范围．α16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两)2,3(-A )1,32(-B 点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。

()f x 12[,]x x 2121()()f x f x x x -- 2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近()y f x =(,)a b 0(,)x a b ∈x ∆于0时，比值无限趋近于一个常数A ，则称函数在处可00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆()f x 0x x =导，并称该常数A 为函数在处的导数，记作。

函数在处的导()f x 0x x =0()f x '()f x 0x x =数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均00()()y f x x f x ∆=+∆-变化率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无00()()f x x f x x +∆-∆x ∆00()()f x x f x x+∆-∆限趋近与一个常数A ，则.0()f x A '= 4. 导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。

由此，()f x 0x x =()y f x =00(,())x f x 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出在x 0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；()y f x =()y f x =00(,())x f x （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。

000()()y y f x x x '-=- 当点不在上时，求经过点P 的的切线方程，可设切点坐标，00(,)P x y ()y f x =()y f x =由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线在()y f x =点处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为00(,())x f x 。

0x x = 5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数，则表示瞬时速度，表()S t ()V S t '=()a v t '=示瞬时加速度。

二、导数的运算1. 常见函数的导数：（1）(k , b 为常数)；（2）(C 为常数)；()kx b k '+=0C '=（3）；（4）；()1x '=2()2x x '=（5）；（6）；32()3x x '=211()x x'=-（7）；（8）（α为常数）；'=1()ααx αx -'=（9）；（10）；()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a'==>≠（11）；（12）；()x x e e '=1(ln )x x'=（13）；（14）。

(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=- 2. 函数的和、差、积、商的导数：（1）； （2）（C 为常数）；[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()]()Cf x Cf x ''=（3）; （4）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+。

2()()()()()[(()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''-'=≠ 3. 简单复合函数的导数：若，则，即。

(),y f u u ax b ==+xu x y y u '''=⋅x u y y a ''=⋅三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间内可导，()y f x =(,)a b （1）如果恒，则函数在区间上为增函数；()0f x '>()y f x =(,)a b （2）如果恒，则函数在区间上为减函数；()0f x '<()y f x =(,)a b （3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。

()0f x '=()y f x =(,)a b 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数的定义域；②求导数；()y f x =()f x '③解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式，解()0f x '>()0f x '<集在定义域内的不间断区间为减区间。