【椭圆】
一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦
点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；
若)(2121
F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）
（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中2
22b a c -=；
（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2
22b a c -=；
2、两种标准方程可用一般形式表示：
221x y m n
+= 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122
22=+b
y a x )0(>>b a 为例）
1、对称性：
对于椭圆标准方程122
22=+b
y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形;并且
是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围:
椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足
a x ≤,
b y ≤。
3、顶点：
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
)0,(1a A -，)0,(2a A ,),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b
分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率:
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a
c
a c e ==
22。
② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
e 越接近1，则c 就越接近a ,从而
22c a b -=越小，因此椭圆越扁;反之，e 越接近于0,c 就越接近0，从而b 越接近于a ，
这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+2
2
.
③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
注意:椭圆122
22=+b
y a x 的图像中线段的几何特征(如下图)：
e PM PF PM PF ==
2
21
1 )2(21a PF PF =+ )2(2
2
1c
a PM PM =+
5、椭圆的第二定义：
平面内与一个定点（焦点）和一条定直线(准线）的距离的比为常数e,（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（
e d
PF =|
|）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有
e PM PF PM PF ==
2
21
1。
①焦点在x 轴上:122
22
=+b
y
a x （a ＞
b ＞0）准线方程:
c a x 2±
=
②焦点在y 轴上：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2
±=
6、椭圆的内外部
(1)点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00221x y a b ⇔+<
（2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的外部22
00221x y a b ⇔+>
四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程
122
22=+b y a x )0(>>b a 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F ),0(1c F -,),0(2c F
焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤,b y ≤
b x ≤，a y ≤
对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±
轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2
离心率
)10(<<=
e a
c
e 准线方程
c
a x 2
±=
c
a y 2
±=
焦半径
01ex a PF +=,02ex a PF -=
01ey a PF +=,02ey a PF -=
五、其他结论
1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=
2、若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点
弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y a b
+= 3、椭圆22
221x y a b += (a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=
4、椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-（1(,0)F c - ，
2(,0)F c 00(,)M x y )
5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF .
6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF。
7、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点,则2
2OM AB b k k a
⋅=-,
即0
20
2y a x b K AB
-=。
8、若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+ 9、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b
+=+
10、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角
11、PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
12、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
13、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。