第二章 导数与微分 第一节 导数概念一、引例：导数的概念起源于物理学中的速度问题以及几何学中的切线问题.1.变速直线运动的速度：设描述质点运动位置的函数为)(t f s =，则0t 到t 的平均速度为00)()(t t t f t f v --=，在0t 时刻的瞬时速度为00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→.2.曲线的切线的斜率:曲线)(x f y =上过点),(00y x P 和点),(y x Q 的割线当0x x →的极限位置称为曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线，其斜率为00)()(limx x x f x f k x x --=→.二、导数的定义1.导数：设函数)(x f y =在0x 的的某邻域内有定义 ，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆，因变量y 有对应的增量)()(00x f x x f y -+=∆∆，若极限xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+=→→存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f 'x x f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+==→→，或0x x y ='；0x x x d y d =；0)(x x x d x f d =. 若x y x ∆∆∆0lim→不存在，则称)(x f 在点0x 不可导，但若∞=→xy x ∆∆∆0lim ，也称)(x f 在点0x 的导数为无穷大. 注： 1°.xy∆∆是因变量y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而0x x y ='则是因变量y 在点0x 处的变化率，是平均变化率的极限，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.在引例1中，瞬时速度为000)()(lim)('0t t t f t f t f v t t --==→；在引例2中，切线斜率为000)()(lim)('0t x x f x f x f k x x --==→；2°. 导数的常见形式：000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ (取x x x ∆+=0即可证得).hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→ (取x h ∆=即可证得).2.单侧导数：（由导数的定义式h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→知，极限hx f h x f h )()(lim 000-+→存在等价于左极限h x f h x f h )()(lim 000-+-→和右极限h x f h x f h )()(lim 000-++→都存在且相等,由此得到左导数和右导数的概念：）(1).左导数：hx f h x f x f h )()(lim )('0000-+=-→-；(2).右导数：hx f h x f x f h )()(lim )('0000-+=+→+；(3).单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数.(4).定理：)(x f 在点0x 可导)(')('00x f x f --=⇔，即)(')(')('000x f x f x f --==.3.导函数：若函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导,则称)(x f 在),(b a 内可导,),(b a x ∈∀，称)('x f 为)(x f 的导函数，记作y '、x d y d 或xd x f d )(，即 x x f x x f x f x ∆∆∆)()(lim)('0-+=→或hx f h x f x f h )()(lim )('0-+=→.若)('a f +及)('b f -都存在，则称)(x f 在闭区间],[b a 上可导. 注：1°.0)()()(000=≠'='=xd x f d x f x f x x . 2°.在不至于引起混淆的情况下，也称导函数为导数. 例1.求函数C x f =)( (C 为常数) 的导数. 解：0lim )()(lim)('00=-=-+=→→hCC h x f h x f x f h h ，即0)(='C . 例2. 求函数)()(+∈=N n x x f n 的导数.解： h x h x h x f h x f x f nn h h -+=-+=→→)(lim )()(lim)('001212110lim ---→=+++=n nn n n n n n h nx hh C h x C h x C . 注：对一般幂函数μx y =(μ为常数)， 有1)(-='μμμx x .(以后证明) 例如：()x x x x x 21212121121'21'===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--；()2211'1'1)1(1x x x x x -=-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛----.例3. 求函数x x f sin )(=的导数. 解： 2sin 22cos 21lim sin )sin(lim )()(lim)('000hh x h h x h x h x f h x f x f h h h +⋅=-+=-+=→→→x hh h x h h h x h h h cos 22sinlim 22cos lim 22sin 22cos lim 000=+=⋅+=→→→， 即 x x cos )'(sin =，类似可证x x sin )'(cos -=. 例4. 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.解：a a ha a h a a h a a h x f h x f x f x h h xhx h x h x h h ln 1lim 1lim lim )()(lim)('0000⋅=-⋅=-⋅=-=-+=→→+→→， 即a a a x x ln )'(⋅=.特殊地，有x x x e e e e =⋅=ln )'(.例5. 求函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 的导数. 解：xhx h h x h x h x f h x f x f a h a a h h +⋅=-+=-+=→→→log 1lim log )(log lim )()(lim)('000， hxa h a h a h x h x x h h x x x h h ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=→→→1log lim 11log lim 11log 1lim 000 a x a e x e x x h x a hxh a ln 1ln ln 1log 11lim log 10===⎪⎭⎫⎝⎛+=→,即a x x a ln 1)'(log =. 特殊地，有xx 1)'(ln =. 例6. 求函数||)(x x f =的导数.解：由于⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,||)(x x x x x x x f ，所以当),0(+∞∈x 时， 1lim )()(lim)('00=-+=-+=→→h xh x h x f h x f x f h h ,当)0,(-∞∈x 时，1)()(lim )()(lim)('00-=--+-=-+=→→h x h x h x f h x f x f h h , 当0=x 时，10)0(lim )0()0(lim )0('00-=-+-=-+=→→--hh h f h f f h h , 100lim )0()0(lim )0('00=-+=-+=→→++hh h f h f f h h ,)0(')0('+-≠f f ，故||)(x x f =在点0=x 处不可导，于是⎩⎨⎧<->==0,10,1|)'(|)('x x x x f .三、导数的几何意义及应用1.几何意义：函数)(x f 在点0x 的导数)('0x f 是曲线)(x f y = 在其上一点),(00y x 处的切线的斜率，即αtan )('0=x f .注：若函数)(x f 在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点),(00y x 处存在切线.反之未必，即曲线)(x f y =在点),(00y x 处存在切线，但函数)(x f 在点0x 却未必可导， 例如：函数3)(x x f =在点0=x 处不可导，即∞==--→→32001lim 0)0()(lim x x f x f x x ，但曲线3x y =在点)0,0(处存在水平切线.2.曲线的切线方程：曲线)(x f y =在点),(00y x M 处的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.3.曲线的法线方程：曲线)(x f y =在点),(00y x M 处的法线方程为：)0)(()()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y . 例7.求曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程和法线方程. 解：由于2'11'x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛=，则所求切线的斜率为4'21-===x y k ，于是切线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y ，即044=-+y x ，法线方程为：⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y ，即01582=+-y x .四、函数的可导性与连续性的关系命题：若函数)(x f y =在某点x 可导，则它在该点一定连续. 证明：若函数)(x f y =在点x 可导，则有xx f x x f x y x f x x ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim)('00-+==→→，从而有)()(')()(x x f xx f x x f ∆α∆∆+=-+，其中0)(lim 0=→x x ∆α∆，整理得)()(')()(x x x f x f x x f ∆α∆∆+⋅=-+，于是0)]()('[lim )]()([lim 0=+⋅=-+→→x x x f x f x x f x x ∆α∆∆∆∆，即)()(lim 0x f x x f x =+→∆∆，这说明)(x f y =在点x 连续.注：反之未必正确，即函数)(x f y =在某点x 连续可导，但它在该点未必可导. 例如：函数3)(x x f y ==在),(∞+-∞内连续，但在0=x 处不可导，因为+∞==-=-+→→→303001lim 0lim )0()0(lim h hh h f h f h h h ，即)0('f 不存在. 又如函数||)(2x x x f y ===在),(∞+-∞内连续，但在0=x 处不可导，因为1)0(')0('1=≠=-+-f f ，即)0('f 不存在.第二节 函数的求导法则一、函数四则运算的求导法则定理1. 函数)(x u u =及)(x v v =在点x 都可导，则它们的和、差、积、商(除分母不为零的点外)都在点x 都可导，且 (1). )()(])()([x v x u x v x u '±'='±; (2). )()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=';(3). )()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v . 证明：(1).设)()()(x v x u x f ±=，则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→hx v x u h x v h x u h )]()([)]()([lim 0±-+±+=→hx u h x u h )()(lim 0-+=→h x v h x v h )()(lim 0-+±→)()(x v x u '±'=， 故结论成立. 可推广到任意有限项的情形，如：w v u w v u '-'+'='-+)(. (2). 设)()()(x v x u x f =，则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→hx v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++=→h x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++=→ )()()()()()(lim 0x u hx v h x v h x v h x u h x u h -+++-+=→ )()()()(x v x u x v x u '+'=，故结论成立. (3). 设)()()(x v x u x f =，则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→h x v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++=→hx v h x v h x v x u x v h x u •h )()()()()()(lim 0++-+=→ hx v h x v h x v x u x v x u x v x u x v h x u •h )()()()()()()()()()(lim 0++-+-+=→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+⋅+=→)()()()()()()()(1lim0x u h x v h x v x v h x u h x u x v h x v h)()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=，故结论成立.推论：设)(),(),(x w w x v v x u u ===均可导，则(1). w v u w v u '-'+'='-+)(；(2). '''')()'(]')[()(uvw w uv vw u w uv w uv w uv uvw ++=+=='； (3). 当C x v =)(时，u C Cu '=')(. 例1. 设735223-+-=x x x y ，求'y .解：3106)'7()'3()'5()'2()'7352('22323+-=-+-=-+-=x x x x x x x x y . 例2. 设2sincos 4)(3π-+=x x x f ，求)('x f 及⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 解：x x x f sin 43)('2-=，4432'2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf .例3. 设)cos (sin x x e y x +=，求'y .解：)'cos (sin )cos (sin )'('x x e x x e y x x +++=x e x x e x x e x x x cos 2)sin (cos )cos (sin =-++=. 例4. 设x y tan =，求'y .解：x x x xx x x x x x x x y 222222'sec cos 1cos sin cos cos )'(cos sin cos )'(sin cos sin )'(tan '==+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 用类似方法可得：x x 2csc )'(cot -=. 例5. 设x y sec =，求'y .解：x x x xx x x x x y tan sec cos sin cos )'(cos 1cos )'1(cos 1)'(sec '22'==⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 用类似方法可得：x x x cot csc )'(csc -=. 二、反函数的求导法则定理2. 若函数)(y f x =在区间y I 内单调、可导且0)('≠y f ，则它的反函数)(1x f y -=在区间}),(|{y x I y y f x x I ∈==内也可导，且)('1)]'([1y f x f =-或dydx x d y d 1=，即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.证明：x I x ∈∀，给x 以增量x ∆(x I x x x ∈+≠∆∆,0),由反函数的单调性知0)()(11≠-+=--x f x x f y ∆∆，于是有yxx y ∆∆∆∆1=. 且由反函数的连续性知,当0→x ∆时必有0→y ∆，因此必有)('11lim lim)]'([001y f yx x y x f x x ===→→-∆∆∆∆∆∆.例6.求函数x y arcsin =在区间)1,1(-的导数.解：由于x y arcsin =的直接函数y x sin =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内单调且可导，且0cos )'(sin >=y y ，则x y a r c s i n =在)1,1(-内可导，且2211sin 11cos 1)'(sin 1)'(arcsin xy y y x -=-===. 用类似的方法可得2211cos 11sin 1)'(cos 1)'(arccos xy y y x --=--=-==.或2'11arcsin 2)'(arccos x x x --=⎪⎭⎫⎝⎛-=π.例7. 求函数x y arctan =在区间),(∞+-∞的导数.解：由于x y arctan =的直接函数y x tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内单调且可导，且y y 2sec )'(tan =，则x y arcsin =在),(∞+-∞内可导，且22211tan 11sec 1)'(tan 1)'(arctan xy y y x +=+===. 用类似的方法可得22211cot 11csc 1)'(cot 1)'cot (x y y y x arc +-=+-=-==. 或2'11arctan 2)'cot (x x x arc +-=⎪⎭⎫⎝⎛-=π. 例8. 求函数x y a log =在区间),0(∞+的导数.解：由于x y a l o g =)1,0(≠>a a 的直接函数ya x =在()∞+∞-,内单调且可导，且a a a y y ln )'(=，则x y a log =在),0(∞+内可导，且ax a a a x y y a ln 1ln 1)'(1)'(log ===. 三、复合函数的求导法则定理3.若)(x g u =在点x 可导，)(u f y =在点)(x g u =可导，则复合函数)]([x g f y =在点x 可导，且)()(x g u f x d y d '⋅'=或xd ud u d y d x d y d ⋅=.(分步完成) 证明:由已知条件可得：)(lim0u f u y u '=→∆∆∆，)('lim 0x g xux =→∆∆∆，从而有u u u f y ∆α∆∆+'=)(， (1)x x x g u ∆β∆∆+=)(', (2)其中0lim 0=→α∆u ，0lim 0=→β∆x .由(2)知，0→x ∆时，0→u ∆，从而也有0lim 0=→α∆x ；当0≠x ∆时，由(1)得，xu x u u f x y ∆∆α∆∆∆∆+'=)(，于是)(')(lim lim lim )()(lim lim 00000x g u f x u x u u f x u x u u f x y x d y d x x x x x '=+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'==→→→→→∆∆α∆∆∆∆α∆∆∆∆∆∆∆∆∆. 注：此法则可推广到多个中间变量的情形. (搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.) 例如, )(,)(,)(x v v u u f y ψϕ===，)()()(x v u f xd vd v d u d u d y d x d y d ψϕ'⋅'⋅'=⋅⋅=. 例9. 求函数3x e y =的导数. 解：令u e y =，3x u =，则32233x u e x x e xd ud u d y d x d y d =⋅=⋅=. 或直接求：()33323'3)'(x x x e x e x e xd y d ===.例10. 求函数212sinxxy +=的导数. 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222222'2'212cos )1()2()1(212cos 1212sin x x x x x x x x x x x x d y d . 例11. 求函数||ln x y =的导数.解：令u y ln =，⎩⎨⎧<->==0,0,||x x x x x u ，则当0>x 时，xu x d u d u d y d x d y d 111=⋅=⋅=；当0<x 时，x u x d u d u d y d x d y d 1)1(1=-⋅=⋅=，综上得xx y 1|)'|(ln '== )0(≠x . 例12. 求函数3221x y -=的导数.解：322232232)21(34)'21()21(31)'21(x x x x x x d y d --=--=-=-.例13. 求函数)cos(ln x e y =的导数.解：x x x xx xx x x x x e e e e e e e e e e e x d y d tan )cos(sin )')(sin ()cos(1))'(cos()cos(1))'cos((ln -=-=-===. 例14. 求函数xey 1sin=的导数.解：x e x x x e x e e x d y d x x x x 1cos 111cos 1sin 1sin 2'1sin '1sin '1sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.例15. 证明幂函数的导数公式1)'(-=μμμx x .证明：由于()'ln x e x μμ=，所以()1ln 'ln 1)'ln ()'(-=⋅⋅===μμμμμμμμx xx x e e x x x . 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数(1).0)(='C ； (2).1)(-='μμμx x ； (3).x x cos )(sin ='； (4).x x sin )(cos -=' (5).x x 2sec )(tan ='； (6).x x 2csc )(cot -='； (7).x x x tan sec )(sec ='； (8).x x x cot csc )(csc -='； (9).a a a x x ln )(='； (10).x x e )(e ='； (11).a x x a ln 1)(log ='； (12).=')||(ln x x1； (13).211)(arcsin xx -='； (14).211)(arccos xx --='；(15).211)(arctan x x +='； (16).211)cot (x x arc +-='.2.函数有限次四则运算的求导法则(1).)(])([x u C x Cu '=' ( C 为常数); (2).)()(])()([x v x u x v x u '±'='±;(3).)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='; (4).)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v . 3.复合函数求导法则:)(,)(x g u u f y ==,)(')('x g u f xd ud u d y d x d y d ⋅=⋅=. 4.初等函数在定义区间内可导,但其导数未必是初等函数，例如：函数x x x f sin )(3=是初等函数，但其导数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=→0sin lim cos 3sin )('30332x x x x x xx x f x 却不再是初等函数.例16. 求函数x nx y n sin sin ⋅=的导数'y .解：)'(sin sin sin )'(sin 'x nx x nx y n n ⋅+⋅=x x n nx x nx n n n cos sin sin sin cos 1-⋅+⋅=)cos sin sin (cos sin 1x nx x nx x n n ⋅+⋅=-x n x n n )1sin(sin 1+⋅=-.思考与练习： 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，求)(a f '.错误解法：由于)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+='，故)()(a a f ϕ='.(注意到)(x ϕ在a x =处未必可导) 正确解法：a x a f x f a f a x --='→)()(lim )(ax x a x a x --=→)()(lim ϕ)()(lim a x a x ϕϕ==→. 第三节 高阶导数一、高阶导数的概念1. 引例：变速直线运动的位置函数)(t s s =，速度t d s d v =，即s v '=，加速度t d v d a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t d s d t d d )(''=s . 2. 二阶导数：若函数)(x f y =的导数)(x f y '='可导,则称)(x f '的导数为)(x f 的二阶导数,记作y ''或22xd y d ，即)(''=''y y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,1-n 阶导数的导数称为n 阶导数，分别记作y '''，)4(y ，)(,n y ，或33x d y d ，44x d y d ，n n x d y d , . 3. 高阶导数：二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数.例1. 求n 次多项式函数n n x a x a x a a y ++++= 2210的各阶导数.解：1232132'-++++=n n x na x a x a a y ,232)1(2312''--++⋅+⋅=n n x a n n x a a y ,依次类推,可得n n a n y !)(=,而0)2()1(===++ n n y y .例2. 求正弦函数x y sin =的n 阶导数)(n y . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 22sin 2cos ''ππππx x x y ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos '''ππx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos )4(ππx x y ， 一般地，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin )(sin )(πn x x n ，类似可证: ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos )(cos )(πn x x n . 例3. 求函数ax e y =的n 阶导数)(n y .解：ax ae y ='，ax e a y 2''=，ax e a y 3'''=， 以此类推得ax n n e a y =)(.特别的，x n x e )(e )(=.例4. 求函数)1(ln x y +=的n 阶导数)(n y . 解：x y +='11，2)1(1x y +-=''，32)1(21)1(x y +⋅-='''， 以此类推得n n n x n y )1()!1()1(1)(+--=-. 二、高阶导数的运算法则:设函数)(x u u =及)(x v v =都有n 阶导数 , 则1.)()()()(n n n v u v u ±=±;2.)()(n u C )(n u C =, (C 为常数).3.莱布尼茨公式：)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n n v u v u k k n n n v u n n v u n v u v u +++--+++''-+'+=--- )()()()2(2)1(1)(0n n n k k n k n n n n n n n v u C v u C v u C v u C v u C ++++''+'+=---)()(0k k n n k k n v u C -=∑=，规律：v u v u v u '+'=')(；v u v u v u v u v u v u ''+''+''=''+'=''2)()(；v u v u v u v u v u '''+'''+'''+'''='''33)(.例5. 对函数x e x y 22=，求)20(y .解：设x u 2e =，2x v =，则)20,,2,1(e 22)( ==k u x k k ，x v 2='，2=''v ，)20,,3(0)( ==k v k ，代入莱布尼茨公式 , 得2e 2!219202e 220e 2)(2182192220)20(22)20(⋅⋅+⋅⋅+⋅==x x x x x x e x y )9520(e 22220++=x x x . 第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数以及相关变化率一、隐函数的导数1. 隐函数：设A 、B 是两个非空数集，若A x ∈∀，由二元方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f (或)(x f y =)是方程0),(=y x F 确定的隐函数.注：1° .所谓隐函数就是对应关系不明显，隐含在二元方程中的函数.2°.由二元方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x f y =必是方程0),(=y x F 的解,即0)](,[=x f x F .3°.在方程中找出隐含的对应关系叫做隐函数的显化，但并不是每一个隐函数都可以显化.例如：03275=--+x x y y .2.隐函数求导法则:(1). 隐函数显化后求导；(2). 直接求导：对确定隐函数)(x f y =的二元方程0),(=y x F 两端应用复合函数求导法则对x 求导，即对方程0)](,[=x f x F 两端对x 求导.例1.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数)(x f y =的导数xd y d . 解：在方程两端对x 求导，得)0()(x d de xy e x d d y =-+，即0=++xd y d x y x d y de y ，整理得 )0(≠++-=y y e x ex y x d y d . 注：由于方程0=-+e xy e y 能确定隐函数)(x f y =，故有0)()(=-+e x xf e x f例2.求由方程03275=--+x x y y 所确定的隐函数)(x f y =的导数0=x x d y d . 解：在方程两端对x 求导，得 02112564=--+x x d y d x d y d y ，整理得2521146++=y x x d y d , 由于0=x 时0=y ，故210==x x d y d . 例3.求椭圆191622=+y x 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛323,2处的切线方程. 解：所求切线的斜率为2'==x y k ，在椭圆方程两端对x 求导，有0928='⋅+y y x ，整理得y x y 169'-=,将⎪⎭⎫ ⎝⎛323,2代入得43'2-==x y .于是 切线方程为：)2(43323--=-x y ，或03843=-+y x . 例4.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数)(x f y =的二阶导数22xd y d .解：在方程两端对x 求导，得0cos 211=+-x d y d y x d y d ，整理得yx d y d cos 22-=,在上式两端再对x 求导得，3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y x d yd y x d y d --=-⋅-=. 3.幂指函数)()(x v x u y =的求导法则——对数求导法：(1). 取对数：)(ln )(ln x u x v y =)(ln )(x u x v e y =⇔(2). 对x 求导：)()()()(ln )(1x u x v x u x u x v y y '+'='， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=')()()()(ln )()()(x u x v x u x u x v x u y x v ，='y )()(ln )()(x v x u x u x v '⋅+)()()(1)(x u x u x v x v '⋅- ()')(ln )(x u x v e =. （按指数函数求导公式 + 按幂函数求导公式）注：幂指函数不是一元复合函数,故不能用复合函数求导法则求其导数，可用下册书中的二元复合函数求导法则求之.例5.求函数)0(sin >=x x y x 的导数'y .解：在方程x x y sin =两端取对数得x x y ln sin ln ⋅=，两端对x 求导得x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='，于是x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='，即⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅='x x x x x y x 1sin ln cos sin 另解：x x x e x y ln sin sin ==，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅==x x x x x e x x e y x x x x x sin ln cos )'ln (sin 'sin ln sin 'ln sin . 例6.求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数'y . 解：在方程)4)(3()2)(1(----=x x x x y 两边取对数得[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln -----+-=x x x x y ， 两端对x 求导得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-='4131211121x x x x y y ，即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-⋅----='41312111)4)(3()2)(1(21x x x x x x x x y .二、由参数方程确定的函数的导数1.参数方程确定的函数：若参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ可确定一个 y 与 x 之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数.2.参数方程确定的函数的求导法则:(1). 消去参数找出函数关系后求导；(2). 直接求导公式：若函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=在区间],[βα内可导，函数)(t x ϕ=具有连续的单调的反函数)(1x t -=ϕ，且0)('≠t ϕ，则反函数)(1x t -=ϕ与函数)(t y ψ=构成复合函数)]([1t y -=ϕψ，且)()(1t t t d x d t d y d x d t d t d y d x d y d ϕψ''=⋅=⋅=, 即td x d td y d x d y d =. 注：若函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=在区间],[βα内二阶可导，且0)('≠t ϕ，则复合函数)]([1t y -=ϕψ的二阶导数可由新的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧''==)()()(t t x d y d t x ϕψϕ求得：td x d x d y d t d d x d t d x d y d t d d x d y d x d d x d y d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22 )()()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=， 例7.已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==ta y t a x sin cos ，求椭圆在4π=t 相应的点处的切线方程. 解：参数4π=t 对应椭圆上相应的点0M 的坐标为224sin 0b b x ==π，椭圆在点0M 处的切线斜率为a b t a t b t a t b x d y d t t t -=-=====444sin cos )'cos ()'sin (πππ，于是 切线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2222a x a b b y ，整理得02=-+ab ay bx . 例9.计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数)(x y y =的二阶导数. 解：2cot )2/(sin 2)2/cos()2/sin(2cos 1sin )cos 1(sin 2t t t t t t t a t a t d x d t d y d x d y d ==-=-==),2(Z n n t ∈≠π.2222)cos 1(1)cos 1(1)2/(sin 212cot t a t a t t d x d t t d d x d y d --=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 第五节 函数的微分一、微分的概念1.引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,边长由0x 变到x x ∆+0，问此薄片面积改变了多少?解：设薄片边长为x , 面积为A , 则2x A =，当x 在0x 取得增量x ∆时，面积的增量为2020)(x x x A -+=∆∆=x x ∆02+2)(x •∆ . (关于x ∆的线性函数+0→x ∆时的高阶无穷小.）故x x A ∆∆02≈，即边长改变很微小时，即||x ∆很小时，面积的增量A ∆可近似地用第一部分x x ∆02代替，而且||x ∆越小，近似程度越好.还有其它许多具体问题中出现的函数)(x f y =，需要研究函数的增量y ∆即)()(00x f x x f -+∆与自变量的增量x ∆之间的关系，这就涉及到函数的微分.2.函数的微分的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若)(x f 在点0x 的增量)()(00x f x x f y -+=∆∆可表示为)(x o x A y ∆∆∆+=，其中A 为不依赖于x ∆的常数，)(x o ∆是当0→x ∆时比x ∆的高阶无穷小量,则称)(x f 在点0x 处可微，并称x A ∆为)(x f 在点0x 的微分，记作0x x y d =或x A x f d ∆=)(0.若函数)(x f 在区间I 的每一点处可微，则称)(x f 在区间I 可微.现在要问，函数)(x f 满足什么条件才能在点0x 可微？如果可微分，那么常数A 等于什么？下面的定理回答这个问题.2.函数可微的充要条件：定理：函数)(x f y =在点0x 可微的充要条件是)(x f 在点0x 可导，并且x x f y d ∆)(0'=. 证明：必要性：由)(x f y =在点0x 可微，得)()()(00x o x A x f x x f y ∆∆∆∆+=-+=，于是xx o A x x f x x f ∆∆∆∆)()()(00+=-+，令0→x ∆，得A x f =')(0，即)(x f 在点0x 可导，并且)(0x f A '=.充分性：由函数)(x f 在点0x 可导，得)(lim 00x f x y x '=→∆∆∆，从而有)()(0x x f xy ∆α∆∆+'=，故 )()()()(00x o x x f x x x x f y ∆∆∆∆α∆∆+'=+'=，即)(x o x A y ∆∆∆+=，其中)(0x f A '=，因此)(x f 在点0x 可微.注：1°.由微分的定义可知，自变量x 本身的微分是x x x x d ∆∆==)'(，即自变量x 的微分等于自变量x 的增量，于是)(x f y =在点0x 的微分又可以写成x d x f y d )(0'=.进而有xd y d •x f =')(0，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此导数又称为微商. 2°. 对一元函数)(x f y =，函数可导性与可微性这两个概念是等价的，求出函数的导数之后，只要再乘以x d ，就得到了函数的微分y d .3°.微分既与点x 有关，也与x d 有关，而x 与x d 是相互独立的两个变量.3.函数微分的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f 就是该曲线在点))(,(00x f x M 处的切线的斜率αtan ，因此QP MQ x x f y d =⋅==α∆tan )('0，这就是说，函数)(x f y =在点0x 处的微分在几何上表示曲线)(x f y =在对应点))(,(00x f x M 处切线的纵坐标的增量.当||x ∆很小时，||dy y -∆比||x ∆小得多.因此在点P 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段.即在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的.二、 微分运算法则(1).函数和、差、积、商的微分法则：设)(x u u =、)(x v v =均可微,则①．dv du v u d ±=±)(； ②. Cdu Cu d =)(；③. udv vdu uv d ±=)(; ④. 2v udv vdu v u d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛)0(≠v .(2).复合函数的微分法则：若)(,)(x g u u f y ==分别可微，则复合函数)]([x g f y =的微分为u d u f x d x u f x d y y d x )()()('=''='=ϕ.并称此性质为函数一阶微分的形式不变性.注：1°. 复合函数的微分既可以利用链式法则求出复合函数的导数再乘以x d 得到，也可以利用函数一阶微分的形式不变性得到.2°. 函数一阶微分的形式不变性可以求复合函数的导数.例1. 求函数)12sin(+=x y 的微分y d .解：x d x x d x y d )12cos(2)12()12cos(+=++=.例2. 求函数)e 1(ln 2x y +=的微分y d . 解：x d x d y d x x x x 2222e 1e 2)e 1(e 11+=++=.例3. 求函数x y x cos e 31-=的微分y d 以及导数'y .解：)(cos e )(e cos )cos (e 313131x d d x x d y d x x x ⋅+⋅==---=-⋅-=--x d x x d x x x 3131e sin e cos 3•x x x )sin cos 3(e 31+--x d ，)sin cos 3(e '31x x xd y d y x +-==-. 例4. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立：(1). x d x C x d =⎪⎭⎫ ⎝⎛+221 (C 为任意常数)； (2). t d t C t d ωωωcos sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 注：1°.上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.2°.数学中的反问题往往出现多值性，例如：)4(22=，4)2(2=±；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=224πsin ,2224πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πk . 三、函数的近似计算公式： 1.近似公式：若函数)(x f 在点0x 可微，则))(()()(000x x x f x f x f -'+≈. 推导：由函数)(x f 在点0x 可微，则有)()()(0x o y d x o x x f y ∆∆∆∆+=+'=，故当||x ∆很小时，有y d y ≈∆，即x x f x f x x f y ∆∆∆)()()(000'≈-+=，整理得x x f x f x x f ∆∆)()()(000'+≈+，令x x x ∆+=0，得))(()()(000x x x f x f x f -'+≈.特别地，当00=x 时,||x 很小时，x f f x f )0()0()('+≈. 注：近似公式的使用原则：1°.•x f )(0与)(0x f '好计算； 2°.x 与0x 靠近.2.常用近似公式：（||x 很小时）(1).x x αα+≈+1)1(; (2).x x ≈sin ; (3).x e x +≈1；(4).x x ≈tan ; (5).x x ≈+)1ln(. 推导：(1).令α)1()(x x f +=，有1)0(=f ，α=)0('f ，当||x 很小时，x x αα+≈+1)1(. 例5.计算 29sin 的近似值.解：设x x f sin )(=，有x x f cos )('=，取6300π== x ，1802929π== x ，则180π-=x ∆， 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+≈=1806cos 6sin 18029sin 29sin ππππ••• 485.0)0175.0(2321≈-⋅+=. 例6. 计算05.1的近似值. 解：025.1)05.0(21105.0105.1=+≈+=.。