第八章1、向量在轴上的投影：性质：ϕcos )(a a u =（即Prj u ϕcos a a =），其中ϕ为向量a与u 轴的夹角；u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a+ Prj u b ）；u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）.2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x++=，k b j b i b b z y x ++=，则=⨯b ax x b a iyy b a j z z b a k=11)1(+-yy b az z b a i +21)1(+-x x b a z zb aj +31)1(+- x x b ayyb a k=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y)()()(-+-+-注：a b b a⨯-=⨯3、二次曲面（1） 椭圆锥面：22222z by a x =+；（2） 椭圆抛物面：z by a x =+2222； （旋转抛物面：z a y x =+222（把把xOz 面上的抛物线z ax =22绕z 轴旋转））（3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122222=++cz a y x （把xOz 面上的椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转））（4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122222=-+cz a y x （把xOz 面上的双曲线12222=-cz a x 绕z 轴旋转））（5） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ； （旋转双叶双曲面：122222=+-c z y a x （把xOy 面上的双曲线12222=-cz a x 绕x 轴旋转）） （6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222；（7） 椭圆柱面：12222=+b y a x ； 双曲柱面：12222=-by a x ； 抛物柱面：ay x =24、平面方程（1） 平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =为平面的一个法向量.（2） 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =若D =0，则平面过原点；若⎩⎨⎧≠==轴，则平面平行于轴则平面过x D x D A 0,0,0若⎩⎨⎧≠===面，则平面平行于面，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3） 平面的截距式方程：1=++czb y a x ，其中c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.5、两平面的夹角：222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ特殊：0212121=++⇔C C B B A A 两平面互相垂直 212121C C B B A A ==⇔两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式：222000CB A DCz By Ax d +++++=7、空间直线方程（1） 空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A（2） 空间直线的对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(p n m s =为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点（3） 空间直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 0008、两直线的夹角：222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ特殊：0212121=++⇔p p n n m m 两直线互相垂直 212121p pn n m m ==⇔两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ特殊：pC n B m A ==⇔直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：设直线L 由方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求x f∂∂时，只要把其他量),,( z y 看作常量而对x 求导数；求yf∂∂时，只要把其他量),,( z x 看作常量而对y 求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）xz∂∂为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z ∂∂、yz∂∂必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=5、若函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂、y z ∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微； 可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ （3）其他情形：若函数),(y x u ϕ=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),,([y y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xuu z x z ∂∂∂∂=∂∂；yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 8、隐函数求导公式： （1）函数),(y x F ：yx F F dx dy-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z t y t x ωψϕ ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零则向量=T ))('),('),('()('0000t t t t f ωψϕ=为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线Γ在点M 处的切线方程为：)(')(')('000000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ 如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==),(),(x z x y ψϕ的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-， 法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：Myyx x M x x z z Mz z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 000-=-=-法平面方程为：0)()()(000=-+-+-z z F F G F y y G F G F x x G F G F yy x x Mxx z z Mzz y y10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程为：),,(),,(),,(0000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=-=-11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f lf+=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(),(000y x f y x gradf o ∇或，即),(),(000y x f y x gradf o ∇==j y x f i y x f y o x),(),(000+13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则0),(,0),(0000==y x f y x f y x14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ；第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值 注：上述步骤是求．．．．．．．．具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点．也要考虑．．．．16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ϕ联立起来：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点第十章1、二重积分的性质性质1：设βα、为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则⎰⎰⎰⎰=⋅=DDd d σσσ1性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ϕ≤则有：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f .),(),((σϕσ特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(.2、二重积分直角坐标的计算法：（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤（X 型）来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[b a 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x ba dy y x f dx d y x f )()(21.),(),(ϕϕσ（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中)(1x φ、)(2x φ在区间],[d c 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x dc dx y x f dyd y x f )()(21.),(),(φφσ注：确定次序原则：（1） 函数原则：内层积分可以积出； （2） 区域原则； （3） 少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）若积分区域D 可用不等式)()(21x x ϕρϕ≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[βα上连续.则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕρρθρθρθθρρθρθρσ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f DD（详见P145,146）4、确定上下限原则：（1）每层下限小于上限；（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数； （3）外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化： （1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当， 其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当， 其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：（1）先一后二：若}{xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(2221),,(),,(y x z y x z y y badz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）（2）先二后一（截面法）：S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ；S3：计算⎰⎰zD dxdy z f )(；S4：计算⎰21),(c c dz y x F若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(c c D zdxdy z y x f dz dv z y x f注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-zρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面；z =常数，即与xoy 面平行的平面⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos 柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(212121),,(),,(θρθρϕϕθθθρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）8、球面坐标三重积分的计算：+∞<≤r 0，πϕ≤≤0，πθ20≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 球面坐标系中的体积元素：θϕϕd drd r dv sin 2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕθϕd drd r r F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2，其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕθϕr r r f r F =，再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121sin ),,(),,(2),(),(θθϕϕθϕθϕϕθϕϕθdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θϕr ，),(2θϕr 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解）解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示xoy 上半面圆锥体 直角坐标：32222020)12(34)2(11a dz z a dz z dxdy dz dxdy dz dv V aaaaa D a D -=-+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπππ柱面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==aa dz d d v d V 022022ρρπρρθ球面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω402220sin ππϕϕθaodr r d d v d V十一章1、对弧长的曲线积分的计算法：设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ ，()t αβ≤≤，其中(t ϕ），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰存在，且(,)[(),(Lf x y ds f t t βαϕφ=⎰⎰ ()αβ<同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)[(),(),(f x y z ds f t t t βαϕφωΓ=⎰⎰2、对坐标的曲线积分的计算方法：设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩，当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ϕ），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰存在，且(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}LLP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ϕφϕϕφφ+=+⎰⎰（下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点）同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)(,,)(,,){[(),(),()]'()[(),(),()]'()[(),(),()]}LLP x y z dx Q x y z dy R x y z dzP t t t t Q t t t t R t t t dtϕφωϕϕφωφϕφω++=++⎰⎰3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y处的切向量方向角cos α=cos α=同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰4、格林公式：设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的取正向的边界曲线注：取,P y Q x =-=，则2LDdxdy xdy ydx =-⎰⎰⎰，左端表示闭区D 的面积A 的两倍，因此，12LA xdy ydx =-⎰5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0LP x y dx Q x y dy +=⎰（2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关（3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+ （4）在D 内没一点都有Q Px y∂∂=∂∂6、对面积的曲面积分的计算法：(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[,(,),xzD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰7、对坐标的区面积分的计算法：(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面上下侧(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面左右侧(,,)[(,),,]xyD P x y z dydz P x x y y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面前后侧8、两类曲面积分之间的联系：cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦9、高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：()(cos cos cos )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSx y zαβγΩ∑∑∂∂∂++=++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10、斯托克斯公式：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x yΓ∑∂∂∂∂∂∂-+-+-=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰。