广州大学学生实验报告开课学院及实验室：电子楼317EDA年月日 学院 机械与电气工程学院年级、专业、班姓名学号实验课程名称数字信号处理实验 成绩 实验项目名称用DFT （FFT ）对信号进行频谱分析指导教师张承云一、 实验目的学习DFT 的基本性质及对时域离散信号进行频谱分析的方法，进一步加深对频域概念和数字频率的理解，掌握MATLAB 函数中FFT 函数的应用。

二、 实验原理离散傅里叶变换（DFT ）对有限长时域离散信号的频谱进行等间隔采样，频域函数被离 散化了，便于信号的计算机处理。

设x (n )是一个长度为M 的有限长序列，x (n )的N 点傅立叶变换：其中NjN eW π2-=，它的反变换定义为：∑-=-=1)(1)(N k nk NWk X Nn x令k NWz -=，则有：∑-=-==10)()(N n nkN k NW z W n x z X可以得到，k NW z z X k X -==)()(，kNWz -=是Z 平面单位圆上幅角为kN πω2=的点，就是将单位圆进行N 等分以后第K 个点。

所以，X(K)是Z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。

时域采样在满足Nyquist 定理时，就不会发生频谱混叠。

DFT 是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。

如果用FFT 对模拟信号进行谱分析，首先要把模拟信号转换成数字信号，转换时要求知道模拟信号的最高截至频率，以便选择满足采样定理的采样频率。

一般选择采样频率是模拟信号中最高频率的3~4倍。

另外要选择对模拟信号的观测时间，如果采样频率和观测时间确定，则采样点数也确定了。

这里观测时间和对模拟信号进行谱分析的分辨率有关，最小的观测时间和分辨率成倒数关系。

最小的采样点数用教材相关公式确定。

要求选择的采样点数和观测时间大于它的最小值。

如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号，最好选择观测时间是信号周期的整数倍。

如果不知道信号的周期，要尽量选择观测时间长一些，以减少阶段效应的影响。

用FFT 对模拟信号作谱分析是一种近似的谱分析，首先一般模拟信号（除周期信号以外）的频谱是连续谱，而用FFT 作谱分析得到的是数字谱，因此应该取FFT 的点数多一些，用它的包络作为模拟信号的近似谱。

另外，如果模拟信号不是严格的带限信号，会因为频谱混叠现象引起谱分析的误差，这种情况下可以预先将模拟信号进行滤波，或者尽量采样频率取高一些。

一般频率混叠发生在折叠频率附近，分析时要注意因频率混叠引起的误差。

最后要注意一般模拟信号是无限长的，分析时要截断，截断的长度和分辨率有关，但也要尽量取长一些，取得太短会截断引起的误差会很大。

举一个极端的例子，一个周期性正弦波，如果所取观察时间太短，例如取小于一个周期，它的波形和正弦波相差太大，肯定误差很大，但如果取得长一些，即使不是周期的倍数，这种截断效应也会小一些。

如同理论课教材所讨论的，在运用DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差，即： （1）混叠现象当采样率不满足Nyquist 定理，经过采样就会发生频谱混叠。

这导致采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。

所以，在利用DFT 分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。

避免混叠现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。

这告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。

在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。

（2）泄漏现象实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长。

为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。

这样可以使用较短的DFT 来对信号进行频谱分析。

这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。

值得一提的是，泄漏是不能和混叠完全分离开的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。

为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。

（3）栅栏效应因为DFT 是对单位圆上Z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。

这样就产生了栅栏效应，从某种角度看， 用DFT 来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真是的频谱。

这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。

减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT 的点数。

这种方法的实质是改变了真是频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。

注意，这时候每根谱线所对应的频和原来的已经不相同了。

从上面的分析过程可以看出，DFT 可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。

DFT 运算量较大，快速离散傅里叶变换算法FFT 是解决方案。

FFT 并不是DFT 不相同的另一种变换，而是为了减少DFT 运算次数的一种快速算法。

它是对变换式进行一次次的分解，使其成为若干小点数DFT 的组合，从而减小运算量。

常用的FFT 是以2为基数的，其长度为MN 2=。

它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分的方便。

当需要进行变换的序列的长度不是2的整数次方的时候，为了使用以2为基的FFT ，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。

IFFT 一般也可以通过FFT 程序来完成。

三、 实验内容和步骤(一) 离散信号给定参考实验信号如下：21j 0()[()]()e 01N knN N n X k DFT x n x n k N π--===≤≤-∑3()x n ：用14()()x n R n =以8为周期进行周期性延拓形成的周期序列。

(1) 分别以变换区间N ＝8，16，32，对14()()x n R n =进行DFT(FFT)，画出相应的幅频特性曲线；(2) 分别以变换区间N ＝4，8，16，对x 2(n )分别进行DFT(FFT)，画出相应的幅频特性曲线； (3) 对x 3(n )进行频谱分析，并选择变换区间，画出幅频特性曲线。

程序：主函数（脚本文件）：draw=@subfunction1;%产生函数句柄n0=input('please input n0');%定义n0的值 n1=input('please input n1');%定义n1的值 n=n0:n1;%设置函数自变量的范围 x1=n>=0&n<4;%产生x1函数 x2=cos(pi*n/4);%产生x2函数 x3=0.*n;%产生容器数组for i=0:2:n1%计算周期化次数 x3_mid=n>=0+i*4&n<=0+i*4+3; x3=x3+x3_mid;%正半周期化 endfor i=0:-2:n0%计算周期化次数x3_mid=n>=-5+i*4-3&n<=-5+i*4; x3=x3+x3_mid;%负半周期化 end%------------x1的三种幅频特性------------ draw(x1,8,n0,1,n);%x1的8点title('x_{1}的8点幅频特性曲线');%设置标题 draw(x1,16,n0,2,n);%x1的16点title('x_{1}的16点幅频特性曲线');%设置标题 draw(x1,32,n0,3,n);%x1的32点title('x_{1}的32点幅频特性曲线');%设置标题 %------------x2的三种幅频特性------------ draw(x2,8,n0,4,n);%x2的8点title('x_{2}的8点幅频特性曲线');%设置标题 draw(x2,16,n0,5,n);%x2的16点title('x_{2}的16点幅频特性曲线');%设置标题 draw(x2,32,n0,6,n);%x2的32点title('x_{2}的32点幅频特性曲线');%设置标题 %------------x3的三种幅频特性------------ draw(x3,8,n0,7,n);%x3的8点title('x_{3}的8点幅频特性曲线');%设置标题 draw(x3,16,n0,8,n);%x3的16点title('x_{3}的16点幅频特性曲线');%设置标题 draw(x3,32,n0,9,n);%x3的32点 子函数：function subfunction1(x,n,n0,p,N)%---------------计算不同fft 的子函数--------------- %x-----------------------需要进行fft 的序列 %n-----------------------fft 的点数%n0----------------------x 序列对应的n 轴的起始位置 %p-----------------------子图选取位置%N-----------------------fft 对应的横轴数组 Xfft=fft(x,n);%计算n 点的fft X_fft=N.*0;%产生容器数组for i=0-n0+1:n+abs(n0) %产生与N 对应长度作为n 点FFT X_fft(i)=Xfft(i-abs(n0)); endsubplot(3,3,p);stem(2*N/n,abs(X_fft),'.');%画图 axis([0,2,0,inf]);%调整图形大小 xlabel('{\omega}/{\pi}');%设置x 轴 ylabel('|Xe^{j{\omega}}|');%确定Y 轴（二）连续信号 实验信号：1()()x t R t τ=选择 1.5ms τ=，式中()R t τ的波形以及幅度特性如图7.1所示。

2()sin(2/8)x t ft ππ=+式中频率f 自己选择。

3()cos8cos16cos 20x t t t tπππ=++分别对三种模拟信号选择采样频率和采样点数。

对1()x t ()R t τ=，选择采样频率4s f kHz=，8kHz ，16kHz ，采样点数用τ.sf 计算。

对2()sin(2/8)x t ft ππ=+，周期1/T f =，频率f 自己选择，采样频率4s f f=，观测时间0.5p T T =，T ，2T ，采样点数用p s T f 计算。

图5.1 R(t)的波形及其幅度特性 对3()cos8cos16cos 20x t t t tπππ=++，选择采用频率64s f Hz=，采样点数为16，32，64。