高中数学反函数的性质及应用
李伟
函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。

反函数在历年高考中也占有一定的比例。

为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。

性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。

例1. 函数()()⎩⎨⎧<-≥=0x x ,
0x x 2y 2的反函数是（ ）。

A. ()()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0x x ,0x 2x y
B. ()()
⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0x x ,0x x 2y C. ()()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0x x ,0x 2x y
D. ()()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0x x ,0x x 2y 解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。

由函数解析式可知当0x ≥时，0y ≥；0x <时0y <。

由性质1，可知原函数的反函数在0x <时，0y <，则根式前面要有负号，故可排除A 、B 两项，再比较C 、D ，易得答案为C 。

例2. 若函数()x f 1-为函数()()1x g 1x f +=的反函数，则()x f 1-的值域为__________。

解析：常规方法是先求出()x f 的反函数()110x f x 1-=-，再求得()x f 1-的值域为()∞+-,1。

如利用性质1，()x f 1-的值域即()x f 的定义域，可得()x f 1-的值域为()∞+-,1。

性质2 若()x f y 1-=是函数()x f y =的反函数，则有()()a b f b a f 1=⇔=-。

从整个函数图象来考虑，是指()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图象关于直线x y =对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点()b ,a ，则其反函数必过点()a ,b 。

反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。

例3. 函数()x f y =的反函数()x f y 1-=的图象与y 轴交于点P （0，2），如下图所示，则方程()0x f =在[1，4]上的根是=x （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
解析：利用互为反函数的图象关于直线x y =对称，()x f y 1-=的图象与y 轴交于点P
（0，2），可得原函数()x f y =的图象与x 轴交于点（2，0），即()02f =，所以()0x f =的根为2x =，应选C 。

例 4. 设函数()x f 的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数()x f 1-，f ()4=0，则()4f 1-=_________。

解析：由()4f =0，可知函数()x f 的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（2-，4）。

由题意知点（2-，4）也在函数()x f 的图象上，即有()42f =-，根据性质2，可得()24f 1-=-。

性质3 单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。

在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。

如函数x
1y =
有反函数，但其在定义域上不是单调函数。

例5 函数()x f =3ax 2x 2--在区间[]2,1上存在反函数的充要条件是（ ）
A. (]1,a ∞-∈
B. [)∞+∈,2a
C. (][)∞+⋃∞-∈,21,a
D. []2,1a ∈ 解析：因为二次函数()3ax 2x x f 2--=不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]a ,∞-或(]∞+,a 上是单调函数，而已知函数()x f 在区间]2,1[上存在反函数，所以
(]a ,]2,1[∞-⊆或者[)∞+⊆,a ]2,1[，即1a ≤或2a ≥，应选C 。

例6. 已知()x f y =是定义在R 上的单调递增函数，且有()()x f x f 1-=，试证明()x x f =。

证明：（反证法）假设存在0x ，使得()00x x f ≠。

∵()x f y =是定义在R 上的单调递增函数，
∴由性质3知，()x f y 1-=也是R 上的单调递增函数。

若()00x x f >，则()[]()0101x f x f f -->，即()010x f x ->()0x f =，矛盾。

同理，当()00x x f <时，也可推出矛盾，故假设不成立，则()x x f =。

性质4 若()x f y 1-=是()x f y =的反函数，则()a x f y +=的反函数为()a x f y 1-=-，
()a x f y 1+=-的反函数为()a x f y -=。

证明：假设()x f y =的反函数为()x f y 1-=，若()a x f y +=，则
()()[]a x a x f f y f 11+=+=--，即()a y f x 1-=-，得()a x f y 1-=-。

也就是说原函数向左平移a 个单位，则反函数向下平移a 个单位，其他情况可同理证明。

例7. 设()1
x 3x 2x f -+=
，函数()x g y =的图象与()1x f y 1+=-的图象关于直线x y =对称，求()3g 的值。

解析：∵函数()x g y =的图象与()1x f y 1+=-的图象关于直线x y =对称。

∴()x g y =与()1x f y 1+=-互为反函数。

根据性质4，()1x f y 1+=-的反函数为()1x f y -=。

∴()()1x f x g -=，得()()2
713f 3g =-=。

例8. 设定义域为R 的函数()x f 、()x g 都有反函数，并且函数()1x f +和()2x g 1--的图象关于直线x y =对称，若()20075g =，求()6f 的值。

解析：由已知条件可知()1x f +与()2x g 1--互为反函数，根据性质4，()2x g y 1-=-的反函数为()2x g y +=，可得()()2x g 1x f +=+。

∴()()200925g 6f =+=。