并非所有的函数都有反函数！
小结：
1.反函数的概念及记号； y=f(x)的反函数记为y=f –1(x)
2.求反函数的步骤：
(1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y); (2)互换：将x,y互换得y=f –1(x),并注明其定义域（即原函 数的值域 )。
3.若y=f(x)的反函数是y=f –1(x),则函数y=f –1(x)的反函数就 是y=f(x)，它们是互为反函数。
互换x, y得反函数为： y ( x 1)2 ( x 1).
(4) 由y 2 x 3 解得： x y 3 ,
x 1
y2
互换x, y得反函数为：y x 3 (xR,且x 2). x2
课堂练习：
P. 61----62. Ex.1 ---- 4. P. 65 习题六 2.(口答)
1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
2
1
4
2::y来自xR 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____，对应的函数值是___x____。
（2）函数 y x 1 的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是__[0_,_+__)__。
如果由 y x 1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0，+)上 的任一个值，通过式子x=__y_2 ___1___,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x 1
定义域： [-1,) 值域： [0,+)
新函数：
x y2 1
[0,+) [-1,+)
在(1)中，我们称新函数 x 1 y 为原函数y=f(x)=2x的
反函数,记为：x
f
1 ( y )
1 2
y.
2
改写为：y
反函数（第一课时）
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
是否任何一个函数都有反函数？
（3）函数y=x2的定义域是__R___，值域是_[_0_,+___)___。如果由
y=x2解出x=_____y____,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子
x y, x在R上有_两__个__值和它对应，故x_不__是_y的函数。
这表明函数y=x2没有反函数！
反函数与原函数的关系：
表达式： 定义域： 值域：
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
A
例.求下列函数的反函数：
(1) y 3x 1( x R); (2) y x3 1( x R); (3) y x 1( x 0); (4) y 2x 3 ( x R,且x 1)
反函数
完成下列填空：
（y=12）x解函出数xy==_212_x_的_y_定__义,这域样是对_于__Ry_在__R,值上域任是一_个__R值__，__通。过如式果子由x= 1 y ，x在R上有唯__一__确__定__的值和它对应，故x是__y__的函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
f
1 1 ( x) x( x R).
2
同样，在(2)中，也把新函数 x y 2 1 称为原函数
y g(x) x 1, 的反函数，记为：x g 1( y) y2 1.
改写为： y g 1( x) x2 1( x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
4.并非所有的函数都有反函数[如填空(3)]。 5.反函数原函数的关系：
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过些日子你们爹的身体好了，就盘一个门面店铺吧！还是开个粮油零售店得好，不但赚头大，而且也相对省劲儿很多 呢！”小青一听说耿正兄妹仨又要去做贩卖水果的生意，就说：“我也去，好歹能给你们帮上点儿忙的！”耿正说： “不用了，你不是还要绣花吗？”小青一扬头说：“嗨，那个早绣好了。现在没有需要绣的活儿！”耿直则说：“小青 姐姐，小心做粗活儿把你绣花的手给糟蹋了！”耿英打趣地说：“做粗活儿倒不至于糟蹋了绣花的手。别看我现在总做 粗活儿，将来不做了，照样还会绣花呢！”乔氏笑着说：“去吧，都去吧！糟蹋了绣花的手，正好以后不用绣了，就和 你们一块儿开店去！英丫头啊，好好教一教你姐姐怎么做生意噢！”耿英有些奇怪地问：“娘娘啊，你真舍得让姐姐去 做这样的粗活儿？”乔氏笑得更开心了。她端着饭碗看一眼宝贝女儿甜美的好看模样，再挨个看过耿正兄妹三人，由衷 地说：“只要你们姐姐愿意，娘娘就高兴啊！”大家有说有笑地吃完了饭，乔氏说：“我一个人洗刷就行了，你们趁早 批发水果去吧！”小青调皮地说：“姆妈哎，按时做好午饭啊，我回来吃了再给他们送去！”乔氏笑着说：“我知道！ 给你们摊鸡蛋煎饼，再炒两个菜，做个虾米紫菜汤。”看着小青和耿正兄妹三人高高兴兴地出门儿去了，耿老爹感激地 对乔氏说：“兄弟媳妇啊，这一眨眼的功夫，我们父子四个在你们家里已经住了半年多了。这一日三餐的，可真是难为 你了！”乔氏却笑着说：“一家人不说两家话啊，我高兴青丫头有了你这个好伯伯和这么多弟弟妹妹还来不及呢！”又 说：“就像我刚才说的，等大哥你的身体彻底休养好了，就不要再贩卖蔬菜水果了，盘个大一点儿的门面房子开粮油零 售店吧！开店的本钱不用你考虑的，那五佰两银子怎么着也足够用了！”耿老爹听了连连摆手，说：“不行，不行，我 白兄弟的抚恤金我怎么能用啊！那可是船老大给你们娘儿俩以后的生活费用呢！你放心，我们父子们再做一段日子，开 个小一点儿的粮油零售店的本金差不多也就够了。”乔氏听了耿老爹这话，原本高高兴兴的心情瞬间就一扫而光了。她 长叹一声摇着头伤心地说：“唉，人已经没有了，我要那些个银子有什么用呢！”于是不再说话，情绪很低落地收拾洗 刷去了。耿老爹一时间也不知道应该如何跟乔氏做进一步解释，就默默地起身回东边屋里休息去了。一会儿，西边屋里 传出来乔氏压抑的哭泣声。耿老爹知道，自己无意间的提起又勾起了乔氏的伤心，可自己真的不能动用白兄弟的那笔抚 恤金啊，那是白兄弟用命换来的，也是她们母女今后生活的保障啊！唉，都怪自己说话不当。又过了一会儿，乔氏压抑 的哭泣声还在继续着。耿老爹觉得，自己有责任，也必须得过去劝慰一番
x 1
解：（1）由y 3x 1解得：x y 1, 3
互换经x, y得反函数为：y x 1(x R). 3
(2) 由y x3 1解得：x 3 y 1,
互换x, y得反函数为： y 3 x 1( x R).
(3) 由y x 1解得：x ( y 1)2 ,