数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。

17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。

在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1个互不相同点x0，x1 (x)n处的值是f（x），……f（xn），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。

其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C，C 1，……Cn的函数类Φ(C，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。

此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。

求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。

一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。

说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。

2.解决方法：构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。

设()2012n n n P x a a x a x a x =++++，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数012,,,,n a a a a 。

3.构造()n P x 的依据：当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数()n P x 逼近于原来的函数()f x 。

根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：20102000201121112012n n n n n n n n n na a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式：()2000211102111n n ijn i j nnn n x x x x x x D x x x x x ≥>≥==-∏故当n+1个点的横坐标01,,,n x x x 各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D 不等于零，故方程组有唯一解。

即有以下结论。

结论：当已知的n+1个点的横坐标01,,,n x x x 各不相同时，则总能够构造唯一的n次多项式函数()n P x ，使()n P x 也过这n+1个点。

4.几何意义5．举例：已知函数()f x ()115f 。

分析：本题理解为，已知“复杂”函数()f x x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值()115f 。

解：（1）线性插值：过已知的（100,10）和（121,11）两个点，构造1次多项式函数()1P x ，于是有()11211001011100121121100x x P x --=⨯+⨯--则()()111511510.71428571428572f P ≈=。

（2）抛物插值：构造2次多项式函数()2P x ，使得它过已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三个点。

于是有2次拉格朗日插值多项式：()()()()()()()()()()()()()2121144100144100121101112100121100144121100121144144100144121x x x x x x P x ------=⨯+⨯+⨯------则有()()2115115f P ≈=10.72275550536420 6.拉格朗日n 次插值多项式公式：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1200102002110121011011n n n n n n nn n n n x x x x x x P x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x -----=------+---+---+---()()()()()00110nn n n k k k P x l x y l x y l x y l x y ==+++=∑其中()k l x 称为基函数（k=0,1,….,n ），每一个基函数都是关于x 的n 次多项式，其表达式为：()0nj k j k jj kx x l x x x =≠-=-∏拉格朗日公式特点：1．把每一点的纵坐标k y 单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x 的n 次多项式，分母是一个常数；3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是： 分子是()x -，而分母是()k x -7.误差分析（拉格朗日余项定理）()()()()()()11!n nn k k f P x f x x x n ξ+=-=-+∏， 其中ξ在01,,,,n x x x x 所界定的范围内。

针对以上例题的线性插值，有()()()()()11151151151001151212!f P f ξ''-=--函数()f x ''在[100,115]区间绝对值的极大值为()4100 2.510f -''=⨯， 则有：()()11151150.011250.05P f -≤<于是近似值()()111511510.71428571428572f P ≈=有三位有效数字。

针对以上例题的抛物线插值，有()()()()()()21151151151001151211151443!f P f ξ'''-=--- 函数()f x '''在[100,115]区间绝对值的极大值为()6100 3.7510f -'''=⨯，则有()()21151150.00163125<0.005P f -≤于是近似值()()2115115f P ≈=10.72275550536420有四位有效数字。

8.拉格朗日插值公式的优点公式有较强的规律性，容易编写程序利用计算机进行数值计算。

9. 拉格朗日插值通用程序 程序流程图如下：y文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值close alln=input('已知的坐标点数n=?');x=input('x1,x2,...,xn=?');y=input('y1,y2,...,yn=?');xx=input('插值点=？');syms t %定义t为符号量p=0;for k=1:nl=1;for j=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endfor j=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp=inline(p); %把符号算式p变为函数形式fplot(p,[min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1]); %画多项式函数hold onp(xx) %显示插值点plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*'); %画已知点和插值点在MATLAB命令窗口输入：lagrange然后有以下对话过程和结果，已知的坐标点数n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值点=？8ans =5.67187500000000有以下图形：二．牛顿插值拉格朗日插值的缺点：无承袭性（继承性）若算出3点的抛物插值精度不够，再进行4点的3次多项式插值时，必须从头算起，前面算出的3点抛物插值的计算结果不能利用。

而泰勒插值却是具有承袭性的，如线性插值的结果不精确，那么再加上一项，就变成了泰勒抛物插值，如：泰勒1次插值：()()()()1000P x f x f x x x '=+- 泰勒2次插值：()()()()()()20200002!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-。

而牛顿插值就是具有承袭性的插值公式 1.差商的概念设n+1个点01,,,n x x x 互不相等，则定义：i x 和()j x i j ≠两点的一阶差商为：()(),i j i j i jf x f x f x x x x -⎡⎤=⎣⎦-i x ,,j k x x 三点的二阶差商为：,,,,i j j k i j k i kf x x f x x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎣⎦- i x ,,,j k l x x x 四点的三阶差商为：,,,,,,,i j k j k l i j k l i lf x x x f x x x f x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎣⎦- …… n+1个点01,,,n x x x 的n 阶差商为：[][][]01112010,,,,,,,,,n n n nf x x x f x x x f x x x x x --=-差商具有对称性：,,i j j i f x x f x x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；,,,,i j k j i k f x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 2.牛顿插值解决的问题与拉格朗日插值解决的问题相同 只是表述 n 次多项式()n P x 的公式不同。

3.牛顿插公式的推导 根据差商的概念，有：()()[]()000,f x f x f x x x x =+-…………………[]0,f x x 是0,x x 两点的一阶差商； [][][]()001011,,,,f x x f x x f x x x x x =+-……[]01,,f x x x 是01,,x x x 三点的二阶差商； ……[][][]()010101,,,,,,,,,,n n n n f x x x f x x x f x x x x x x -=+-把以上各式从后向前逐次代入，可以得到：()()[]()[]()()[]()()()[]()()()001001201010110101,,,,,,,,,,n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x -=+-+--++---+---()()()n n f x P x R x =+ 其中()()[]()[]()()[]()()()00100120101011,,,,,,n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -=+-+--++---()[]()()()0101,,,,n n n R x f x x x x x x x x x x =---以上()n P x 的表达式称为牛顿插值公式，可以证明，n 次牛顿插值多项式与n 次拉格朗日插值多项式完全相同，只是表达形式不同。