带电粒子在匀强磁场中的运动回旋加速器●1．回旋加速器的工作原理如图15—53所示，放在A 0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v 0进入匀强磁场；在磁场中做匀速圆周运动，经半个周期到达A 1点时在PQ 间造成一个向上的电场，使这个带电粒子在A 1A ′1处受到一次电场的加速，速率v 0增加到v 1，然后粒子以速率v 1在磁场做匀速圆周运动，粒子沿着半径增大了的轨道运动，又经半个周期，粒子达到A 2处，在PQ 间造成一个向下的电场，使粒子再一次被加速，如引往复，不断回旋下去，速率一步一步地增大．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πm ／(qB )跟运动速率和轨道半径无关，当带电粒子和磁场一定时，尽管粒子的速率和半径一次比一次大，但其运动周期不变．故 PQ 间只须加上一个同步的交变电压即可实现对粒子加速．●2．垂直于磁场运动的带电粒子的轨迹分析(1)由于动能变化，也即是速率v 变化，由r ＝qBmv 得知r 也随之发生变化，动能增大半径r 增大，动能减小半径r 减小．(2)由于B 变化，由r ＝qBmv 知r 也变化． ●3．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题的分析方法和注意问题(1)牢记F 洛＝ F 向，进而导出周期和轨道半径．r ＝Bq mv ，T ＝Bqm π2． (2)由运动轨迹找出圆心，进而确定轨道半径的方法：粒子在任意两处的洛仑兹力延长线一定交于圆心，由圆心和轨迹用几何知识可确定轨迹的半径．在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心．②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．(3)用周期来分析粒子在磁场中运动时间：先判定运动路程相当于多少个周长，再由t ＝nT 求之．例1 如图15—54所示，AC 是一块铅块的截面，曲线M NM ′N ′是某带电粒子的运动轨迹，匀强磁场与粒子的速度方向垂直，已知粒子在运动中电荷量不变，则以下说法正确的是：A ．粒子带正电，从N ′穿透AC 到N ；B ．粒子带正电，从N 穿透AC 到N ′；C ．粒子带负电，从N 穿透AC 至 N ′D ．粒子带负电，从N ′穿透AC 至N ．【分析和解答】正确的答案是A ．粒子穿过铅块时，要克服阻力作功，其动能减小，即其速度v 减小．由r ＝qBmv 知粒子作圆周运动的半径也应减小．由图可知圆弧MN 的半径比圆弧M ′N ′的半径小，即粒子在M ′N ′的速率比在MN 的速率大，故粒子应是由N ′穿透AC 到N ．再由左手定则及偏转方向知 粒子应带正电．可见，解此类题关键是由轨迹判断半径变化．例2 如图15—55所示，一束电子(电荷量为e )以速度v 垂直射入磁感应强度为B ，宽为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角30°，则电子的质量是________，穿透磁场的时间是________．【分析与解答】电子在磁场中，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧一部分，又因为F ⊥v ，故圆心在电子射入和穿出磁场时受到洛伦兹力作用线的交点上，如图O 点．由几何知识知，弧AC 所对应的圆心角θ＝30°，OC 为半径．∴r ＝︒30sin d ＝2d ，又由r ＝Bemv 得m ＝2dBe ／v ． 又∵弧AB 圆心角是30°，∴穿透时间 t ＝121T ，故 t ＝vd Be m 32121π=π⨯． 注意：电子、质子、离子等粒子的重力一般都忽略不计(除非题目有说明或暗示)．课堂针对训练(1)一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图15—56所示，径迹上每一小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电量不变)，则由图中情况知下列说法正确的是：(提示：能量减小，即动能减小，亦即速率减小，找出速率与半径关系)A．粒子从a到b，带正电；B．粒子从b到a，带正电；C．粒子从a到b，带负电；D．粒子从b到a，带负电．(2)如图15—57所示，在真空中，水平导线有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度方向与电流方向相同，则电子的可能运动情况是：A．沿路径a运动B．沿路径b运动；C．沿路径c运动D．沿路径d运动．(3)一回旋加速器D形盒的半径为R，用来加速质量为m、电量为q的质子，使质子由静止加速到从D形盒边缘出口射出的能量为E．则：①加速器中匀强磁场的磁感应强度B为多少？②设两D形盒间的电压为U，质子每次加速获得的动能增量相同，那么，加速到能量为E时所需的回旋周数为多少？③加速到能量为E时所需的时间为多少？(4)如图15—58所示，在以O点为圆心半径为r的圆形真空内，存在着垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从A点以速度v0垂直于B方向正对O点射入磁场中，从C点射出，∠AOC为120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为多少？(提示：先粗略画出在磁场中的圆轨迹，由平面几何知识找出圆心、半径及轨迹的圆心角)(5)在一广阔的匀强磁场中，建立一直角坐标系，如图15—59所示，在坐标系的原点O释放一速率为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的粒子(重力不计)，释放时速度方向垂直于B 的方向，且与x 轴成30°角，则其第一次经过y 轴时，轨迹与y 轴交点离O 点距离为多少？(不考空气阻力)(6)如图15—60所示，在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一条直线MN ，距离该直线h 处有一个电子源S ，它向垂直磁场的各个方向等速率发射电子．已知电子质量为m ，电荷量为e ．求：(电子重力不计)①为使电子击中O 点，电子的最小速率；②若电子的速率为①中最小速率的2倍，则击中O 点的电子从S 射出方向与OS 的夹角为多大？带电体在复合场中运动(习题课)●带电体在电场、磁场和重力场共存的复合场中的运动问题分析方法(1)正确进行受力分析：除弹力、重力、摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析．(2)正确进行物体的运动状况分析，找出物体的速度、位置及其变化，分清运动过程，如果出现临界状态，要分析临界条件．(3)恰当选用解决力学问题的三大方法：①牛顿运动定律及运动学公式(只适用于匀变速运动)；②用动量观点分析，即动量定理和动量守恒定律；③用能量观点分析，包括动能定理和机械能(或能量)守恒定律．应注意：电场力和重力做功与路径无关，洛仑兹力对电荷不做功． 在这三大方法中，应首选能量观点和动量观点进行分析．例1 如图15—61，质量为m ＝1kg 、带正电q ＝5×10－2C 的小滑块，从半径为R ＝0.4m 的光滑绝缘41圆弧轨道上由静止自A 端滑下．整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中．已知E ＝100V ／m ，水平向右；B ＝1T ，方向垂直纸面向里．求：(1)滑块m 到达C 点时的速度；(2)在C 点时滑块对轨道的压力．(设轨道固定)【分析和解答】以滑块为研究对象，自轨道上 A 点滑到 C 点的过程中，受重力mg ，方向竖直向下；电场力F C ＝qE ，水平向右；洛仑兹力F B ＝qBv ，方向改变．(1)滑动过程中洛仑兹力F B ＝qBv 不做功，由动能定理得：mgR －qER ＝221c mv 所以 v c ＝140101051012222.)(m /R )qE mg (⨯⨯⨯-⨯=--＝2(m ／s) (2)在C 点，受四力作用，如图15—61所示，由牛顿第二定律与圆周运动知识得：F N －mg －Bqv C ＝m Rv c 2 所以 F N ＝mg ＋Bqv C ＋m Rv c 2＝(1×10＋5×10－2×1×2＋1×4022.)N ＝20.1N 由牛顿第三定律知，滑块在C 点处对轨道压力F N ′＝－F N ．总结：带电体的非匀变速运动过程，从功与能的角度分析比较方便，因洛仑兹力不做功．某瞬时位置的受力与其运动状态之间的瞬时对应关系应由牛顿第二定律讨论，这是由牛顿第二定律的瞬时性所决定的．例2 如图15—62所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ；在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，强场为E ．一质量为m 、电量为－q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴，它与O 点的距离为L ．求此粒子射出时的速度v 和运动的总路程s (不计重力)．【分析与解答】粒子运动路线如图15—63所示，似拱门形状．有L ＝4R ………………①粒子初速度为v ，则有qBv ＝Rv m 2………② 由①、②式可算得：v ＝mqBL 4 设粒子进入电场做减速运动的最大路程为l ，加速度为a ，v 2＝2al ，qE ＝ma ，粒子运动的总路程s ＝2πR ＋2l ．由以上各式得： s ＝mEL qB L 162122+π． 例3 如图15—64所示，场强为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强磁场相互正交，一个质子以速度v 0并跟E 、B 都垂直的方向从A 点射入，质子的电荷量为e ，质量为m ，当质子运动到c 点时，偏离射入方向的距离为d ，则质子在c 点的速率为多大？【分析和解答】对于物体的运动，要从受力分析入手．质子(带正电)受到两个力的作用：(1)电场力 F ＝eE ，大小不变，方向也不变(与E 同向)；(2)洛伦兹力F ＝evB ，大小随v 改变而改变，方向永远与v 的方向垂直．质子的运动过程：由于洛伦兹力不做功，并且电场力做正功(电场力与v 夹角小于90°)，因此质子的速率(或动能)越来越大．又因为洛伦兹力和电场力的合力的大小方向不断变化，所以质子做变加速曲线运动．规律的选择：(1)考虑用牛顿第二定律和运动学公式求末速度vt ．由于运动学公式：vt ＝v 0＋at ，vt 2＝v 02＋2as 的适用条件是“加速度恒定的直线运动”，而此题的质子运动并没有满足这个条件．因此不能用这些规律求解．(2)考虑用动能定理 W 1＋W 2＋…＝2022121mv mv t -求v t ．由于动能定理可应用于直线或曲线运动，只需分别找出各个力做功即可．又由于洛伦兹力不做功，电场力做功为eEd ， ∴eEd ＝2022121mv mv t -，故v t ＝m mv eEd 202+． (3)考虑用能量守恒求v t ．能量守恒是没有什么条件的，由于质子在运动过程中只有动能和电势能间的相互转化，从A 到C ．电势能减少量为Δε电＝eU AC ＝eEd 动能增加量为ΔE k ＝2022121mv mv t -， 由能量守恒ΔE 减＝ΔE 增得Δε电＝ΔE k ，∴v t ＝m mv eEd 202+(应用能量守恒时，要特别注意分清有多少种形式的能在转化，哪种是增加的，哪种是减少的)．课堂针对训练(1)如图15—65所示，在真空中，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量的同种电荷，已知静止，b向右匀速运动，c向左匀速运动，比较它们的质量应有：A．a油滴质量大；B．b油滴质量大；C．c油滴质量大；D．a、b、c油滴质量一样大．(2)质量为m电荷量为＋q的小物块，放在斜面上，斜面的倾角为α，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，设整个斜面置于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图15—66所示，斜面足够长，物块向下滑动能达到的最大速度v m是多少？(3)如图15一67所示，在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，水平放置一足够长的绝缘直棒，棒上套着一个带正电的小球，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；小球质量为m，带电量为q，小球沿水平棒滑动时摩擦因数为μ，小球刚开始向右滑动后，求：①当小球的速度达到何值时它的加速度最大？加速度的最大值是多少？②小球速度的最大值是多大？(4)已知质量为m的带电液滴，以速度v射入互相垂直的匀强电场和匀强磁场中(电场强度为E，磁感强度为B)，液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动．如图15—68所示，求：①液滴在空间受到几个力作用．②液滴带电量及电性．③液滴做匀速圆周运动的半径多大？(5)如图15—69所示，平行板电容器的极板沿水平方向放置且处于真空中，电子束从电容器左边正中间a处沿水平方向射入，电子的初速度是v0、质量为m，在电场力作用下，刚好从图中c点射出，射出时速度是v，现保持电场不变，再加垂直于纸面向里的匀强磁场，使电子刚好由图中d点射出，c、d两点相对于中线ab是对称的，则从d点射出时每个电子的动能等于多少？(6)如图15—70所示，小车A的质量M＝2kg，置于光滑水平面上，初速度为v0＝14m ／s．带正电荷a＝0.2C的可视为质点的物体B，质量m＝0.1kg，轻放在小车A的右端，在A、B所在的空间存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B＝0.5T，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求：①B物体的最大速度．②小车A的最小速度．③在此过程中系统增加的内能．(g＝10m／s2)(7)如图15—71所示，在倾角为θ，用绝缘材料制成的斜面上，放一块质量为m、电荷量为＋q的小滑块．滑块与斜面的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，整个装置处于方向垂直于斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．若小滑块由静止释放，设斜面足够大，且滑块电荷量保持不变，求小滑块在斜面上运达到稳定时速度的大小及速度与重力沿斜面的分力的夹角．。