二次函数图象与性质
知识点一、二次函数得定义:
形如y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)得函数称为二次函数(quadratic funcion) 、其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项、
知识点二、二次函数得图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得图象就是对称轴平行于y轴(或就是y轴本身)得抛物线、几个不同得二次函数、如果二次项系数a相同,那么其图象得开口方向、形状完全相同,只就是顶点得位置不同、
1、用描点法画图象
首先确定二次函数得开口方向、对称轴、顶点坐标,然后在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称地画图、画结构图时应抓住以下几点:对称轴、顶点、与x轴得交点、与y轴得交点、
2、用平移法画图象
由于a相同得抛物线y=ax2+bx+c得开口及形状完全相同,故可将抛物线y=ax2得图象平移得到a值相同得其它形式得二次函数得图象、步骤为:利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k得形式,确定其顶点(h,k),然后做出二次函数y=ax2得图象、将抛物线y=ax2平移,使其顶点平移到(h,k)、
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得图象与性质
1、函数y=ax2(a≠0)得图象与性质:
函数a得符
号
图象
开口
方向
顶点坐
标
对称轴增减性
最大(小)
值
y=ax2a>0 向上(0,0) y轴x>0时,y随x增大而增大
x<0时,y随x增大而减小
当x=0时,
y最小=0
y=ax2a<0 向下(0,0) y轴x>0时,y随x增大而减小
x<0时,y随x增大而增大
当x=0时,
y最大=0
2、函数y=ax2+c(a≠0)得图象及其性质:
(1)当a>0时,开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同,不同得就是顶点坐标为(0,c),当x=0时,y 最小=c
(2)当a<0时,开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同,不同得就是顶点坐标为(0,c),当x=0时,y 最大=c
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得图象与性质:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得图象就是一条抛物线、它得顶点坐标就是,
对称轴就是直线
函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c就是常数,a≠0)
图象
a>0 a<0
性质(1)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延
伸,顶点就是它得最低点、
(2)在对称轴直线得左侧,抛物线自左向右下
降,在对称轴得右侧,抛物线自左向右上升、
(1)当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延
伸,顶点就是它得最高点、
(2)在对称轴直线得左侧,抛物线自左向右上
升;在对称轴右侧,抛物线自左向右下降、
知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c得作用
a,b,c得代数式作用字母得符号图象得特征
a 1、决定抛物线得开口方向;
2、决定增减性
a>0 开口向上
a<0 开口向下
c 决定抛物线与y轴交点得位置,交
点坐标为(0,c)
c>0 交点在x轴上方
c=0 抛物线过原点
c<0 交点在x轴下方决定对称轴得位置,对称轴就是直
线
ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点得个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上
b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点
1、求二次函数解析式得方法
一般来说,二次函数得解析式常见有以下几种形式、
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)
要确定二次函数解析式,就就是要确定解析式中得待定系数(常数),由于每一种形式中都含有三个待定系数,所以用待定系数法求二次函数得解析式,需要已知三个独立条件、
当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后列出三元一次方程组求解、
当已知抛物线得顶点坐标与抛物线上另一点时,通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解、
2、确定二次函数最值得方法
确定二次函数得最大值或最小值,首先先瞧自变量得取值范围、再分别求出二次函数在顶点处得函数值与在端点处得函数值,比较这些函数值,其中最大得就是函数得最大值,最小得就是函数得最小值、
①若自变量得取值范围就是全体实数,函数有最大值或最小值,如图所示、
图(1)中,抛物线开口向上,有最低点,则当时,函数有最小值就是;
图(2)中,抛物线开口向下,有最高点,则当时,函数有最大值就是、
②若自变量得取值范围不就是全体实数,函数有最大值或最小值,如图所示、
图(1)中,当时,函数有最大值;当时,函数有最小值;
图(2)中,当时,函数有最大值;当时,函数有最小值;
图(3)中,当时,函数有最大值;当时,函数有最小值;
图(4)中,当时,函数有最大值;当时,函数有最小值;
图(5)中,当时,函数有最大值;当时,函数有最小值、
二次函数得图像与性质专项练习
1、抛物线y=x2+3x得顶点在( )
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
2.抛物线y=－b＋3得对称轴就是＿＿＿,顶点就是＿＿＿。
3.抛物线y=－－4得开口向＿＿＿,顶点坐标＿＿＿,对称轴＿＿＿,x＿＿＿时,y随x得增大而增大,x ＿＿＿时,y随x得增大而减小。
4、已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它得图象可能就是图所示得( )
5、已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴得两个交点在y轴同侧,它们得距离平方等于,则m得值为( )
A、-2 B.12 C、24 D、48
6、函数y=x2+px+q得图象就是以(3,2)为顶点得抛物线,则这个函数得关系式就是( )
A、y=x2+6x+11
B、y=x2-6x-11
C、y=x2-6x+11
D、y=x2-6x+7
7.抛物线y=－－4得开口向＿＿＿,顶点坐标＿＿＿,对称轴＿＿＿,x＿＿＿时,y随x得增大而增大,x ＿＿＿时,y随x得增大而减小。
8.抛物线得顶点坐标就是( )
A.(1,3)
B.(1,3)
C.(1,3)
D.(1,3)
9.已知抛物线得顶点为(1,2),且通过(1,10),则这条抛物线得表达式为( )
A.y=3－2
B.y=3＋2
C.y=3－2
D.y=－3－2
10.二次函数得图像向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得新函数表达式为( )
A.y=a＋3
B.y=a－3
C.y=a＋3
D.y=a－3
11.抛物线得顶点坐标就是( )
A.(2,0)
B.(2,-2)
C.(2,-8)
D.(-2,-8)
12.对抛物线y=－3与y=－＋4得说法不正确得就是( )
A.抛物线得形状相同
B.抛物线得顶点相同
C.抛物线对称轴相同
D.抛物线得开口方向相反
13.函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内得图像就是图中得( )
14.化为y=为a得形式就是＿＿＿＿,图像得开口向＿＿＿＿,顶点就是＿＿＿＿,对称轴就是＿＿＿＿。
15.抛物线y=－1得顶点就是＿＿＿＿,对称轴就是＿＿＿＿。
16.函数y=＋2x－5得图像得对称轴就是( )
A.直线x=2
B.直线a=－2
C.直线y=2
D.直线x=4
17.二次函数y=图像得顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
18.如果抛物线y=得顶点在x轴上,那么c得值为( )
A.0
B.6
C.3
D.9
19.抛物线y=得顶点在第三象限,试确定m得取值范围就是( )
A.m＜－1或m＞2
B.m＜0或m＞－1
C.－1＜m＜0
D.m＜－1
20.已知二次函数,如果a＞0,b＜0,c＜0,那么这个函数图像得顶点必在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
21.如图所示,满足a＞0,b＜0得函数y=得图像就是( )
22.画出得图像,由图像您能发现这个函数具有什么性质？
23.通过配方变形,说出函数得图像得开口方向,对称轴,顶点坐标,这个函数有最大值还就是最小值？这个值就是多少？
24.根据下列条件,分别求出对应得二次函数关系式。
已知抛物线得顶点就是(―1,―2),且过点(1,10)。
25.已知一个二次函数得图像过点(0,1),它得顶点坐标就是(8,9),求这个二次函数得关系式。
24、(6分)已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数、
(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数得图象与x轴必有两个交点;
(2)设这个二次函数得图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2得倒数与为,求这个二次函数得关系式。