快速傅里叶变换(FFT)的DSP 实现(马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410)摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT 在TMS320C55xx 定点DSP 上的实现，FFT 算法采用C 语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。

关键字：FFT ，DSP ，比特反转1.引言傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。

离散傅里叶变换（DFT ）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。

由于DFT 的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。

20世纪60年代由Cooley 和Tukey 提出了快速傅里叶变换（FFT ）算法，它是快速计算DFT 的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT 的运算速度，从而使DFT 在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。

DSP 芯片的出现使FFT 的实现变得更加方便。

由于多数的DSP 芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT 指令（如实现FFT 算法所必需的比特反转等），使得FFT 算法在DSP 芯片上实现的速度更快。

本节首先简要介绍FFT 算法的基本原理，然后介绍FFT 算法的DSP 实现。

2.FFT 算法的简介快速傅里叶变换（FFT ）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。

2.1离散傅里叶变换DFT对于长度为N 的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT ）为1,1,0,)()(10-==∑-=N k W n x k X n n nk N （1）式中， N j N e W /2π-= ，称为旋转因子或蝶形因子。

从DFT 的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k 值，直接按（1）式计算X(k) 只需要N 次复数乘法和（N-1）次复数加法。

因此，对所有N 个k 值，共需要N 2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。

对于一些相当大有N 值（如1024点）来说，直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的，因此DFT 运算的应用受到了很大的限制。

2.2快速傅里叶变换FFT旋转因子W N 有如下的特性。

对称性： 2/N k N k N W W +-=。

周期性：N k Nk N W W += 利用这些特性，既可以使DFT 中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT分解成几个短序列的DFT 。

FFT 就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。

FFT 的算法是将长序列的DFT 分解成短序列的DFT 。

例如：N 为偶数时，先将N 点的DFT 分解为两个N/2点的DFT ，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT 分解成N/4点的DFT ，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。

最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT 算法，它的最小变换是2点DFT 。

一般而言，FFT 算法分为按时间抽取的FFT （DIT ＦＦＴ）和按频率抽取的ＦＦＴ（DIF FFT ）两大类。

ＤIF FFT 算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分成２个短序列进行计算。

而DIF FFT 算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成２个短序列进行计算。

两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。

在DIF FFT 算法中，旋转因子k N W 出现在输入端，而在DIF FFT 算法中它出现在输入端。

假定序列x(n)的点数N 是2的幂，按照DIF FFT 算法可将其分为偶序列和奇序列。

偶序列：12/,1,0),2(2),-(N (4),(2),(0),1-==N r r x x x x x x 即 奇序列：12/,1,0),12(1),-(N (5),(3),(1),2-=+=N r r x x x x x x 即则x(n)的DFT 表示为)2()()()12()2()()()(12/02212/02112/0)12(12/021010∑∑∑∑∑∑-=-=-=+-=-=-=+=++=+=N r rk N k N N r rk N N r k r N N r rkN N n nk N N n nk N W r x W W r x W r x W r x n n W n x Wn x k X 为奇数为偶数由于[][]2/)2//(22)/2(2N N j N j N W eeW ===--ππ ，则（3）式可表示为 )3(12/,1,0)()()()()(2112/02/212/02/1-=+=+=∑∑-=-=N k k X W k X W r x W W r x k X k N N r rk N k N N r rkN式中， )(1k X 和)(2k X 分别为)(1n x 和)(2n x 的N/2的DFT 。

由于对称性，,2/K N N k N W W -=+则)()()2/(21k X W k X N k X k N -=+。

因此，N 点)(k X 可分为两部分：前半部分：12/,1,0)()()(21-=+=N k k X W k X k X k N （4） 后半部分：12/,1,0)()()2/(21-=-=+N k k X W k X N k X k N （5）从式（4）和式（5）可以看出，只要求出0~N/2-1区间)(1k X 和)(2k X 的值，就可求出0~N-1区间)(k X 的N 点值。

以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT ，重复抽取过程，就可以使N 点的DFT 用上组2点的 DFT 来计算，这样就可以大减少运算量。

基2 DIF FFT 的蝶形运算如图(a)所示。

设蝶形输入为)(1p x m -和)(1q x m -，输出为)(p x m 和)(q x m ，则有k N m m m W q x p x p x )()()(11--+= （6）k N m m m W q x p x q x )()()(11---= （7）在基数为2的FFT 中，设N=2M，共有M 级运算，每级有N/2个2点FFT 蝶形运算，因此，N 点FFT 总共有N N 2log )2/(个蝶形运算。

)(1q x m - )(p x m)(1q x m - )(q x m-1图(a) 基2 DIF FFT 的蝶形运算例如：基数为2的FFT ，当N=8时，共需要3级，12个基2 DIT FFT 的蝶形运算。

其信号流程如图(b)所示。

x(0) x(0)W N0x(4) x(1) -1W N0x(2) x(2) -1W N0 W N2x(6) x(3) -1 -1W N0x(1) x(4) -1W N0 W N1x(5) x(5) -1 -1W N0 W N2x(3) x(6) -1 -1W N0 W N2 W N3x(7) x(7) -1 -1 -1图(b) 8点基2 DIF FFT蝶形运算从图(b)可以看出，输入是经过比特反转的倒位序列，称为位码倒置，其排列顺序为x0(xx4(),xx。

输出是按自然顺序排列，其顺序为xxx2(3(),)7(),5(),),),6(),1(xxx 。

),0(x)7(),1(),,6(3.FFT算法的DSP实现DSP芯片的出现使FFT的实现方法变得更为方便。

由于大多数DSP芯片都具有在单指令周期内完成乘法—累加操作，并且提供了专门的FFT指令，使得FFT算法在DSP芯片实现的速度更快。

FFT算法可以分为按时间抽取FFT (DIF FFT)和按频率抽取FFT (DIF FFT)两大类，输入也有实数和复数之分，一般情况下，都假定输入序列为复数。

下面以N复数点FFT算法为例，介绍用DSP芯片实现的方法。

3.1 FFT运算的实现用TMS320C55XX的C 语言和汇编混合编程实现FFT算法主要分为三步:3.1.1实现输入数据的比特反转输入数据的比特反转实际上就是将输入数据进行位码倒置,以便在整个运算后的输出序列是一个自然序列。

在用汇编指令进行位码倒置是，使用位码倒置寻址可以大大担高程序执行速度和使用存储器的效率。

在这种寻址方式下，AR0存放的整数N是FFT点的一半，一个辅助寄存器指向一个数据存放的章元。

当使用位码倒置寻址将AR0加到辅助寄存器时，地址将以位码倒置的方式产生。

3.1.2实现N点复数FFTN点复数FFT算法的实现可分为三个功能块，即第一级蝶形运算，第二蝶形运算，第log级蝶形运算。

三级至N2对于任何一个2的整数幂N=2M，，总可以通过M次分解最后成为2点的DFT计算。

通log）级迭代运算完成。

过这样的M次分解，可构成M（即N23.1.3输出FFT结果3.2 C,汇编语言混合程序FFT算法程序主要由exp7b.c, w_table.c ,fft.asm, bit_rev.asm四个程序组成.exp7b.c：主调用子程序用来调用其他程序,实现统一接口。

w_table.c：旋转因子程序，用来计算旋转因子。

bit_rev.asm：位码倒置程序，用来实现输入数据的比特反转。

fft.asm：FFT算法主程序，用来完成N点FFT运算。

4.小结：本实验通过学习快速傅里叶变换(FFT)的原理，然后在CCS平台下编程对其进行模拟仿真，对快速傅里叶变换(FFT)有个一个较深刻的理解。

并且熟悉了DSP，CCS平台，达到了课程教学的目的。

但由于初学DSP，许多东西不明白，以后还需对DSP努力学习研究，达到一个高水平。

参考文献:1.DSP原理及应用其邹彦,唐冬,宁志刚,王毓银电子工业出版社2.TMS320C5000系列DSP系统设计与开发实例汪春梅,孙洪波,任治刚电子工业出版社3.DSP芯片的原理与开发应用(第三版) 张雄伟,陈亮,徐光辉电子工业出版社4.实时数字信号处理SEN M.KUO.BOB H.LEE 中国铁道出版社。