定义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“ ∥ ”表示．a∥b，AB∥CD等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．4321ba若a ∥ b ，则1 2 ；若a ∥ b ，则2 3 ；若a ∥ b ，则3 4 180 ．平行线的判定：1a同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4321ba若1 2 ，则a∥ b；若2 3，则a∥b ；若3 4 180 ，则a∥b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．Ab (c)a过直线 a外一点A做b∥a ，c∥a ，则b与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．cba若b∥a，c∥a，则b∥c．平行的性质及判定模块一平行的定义、性质及判定1第二级(上)·第 1讲·基础 -提高-尖子班·教师版21A ． 例 1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ 同位角相等 B ．内错角相等 ） C ．同旁内角互补D ．以上都不对A ． 1和 2 是同旁内角，若 1 45 45B ． 135 ，则C ． 45 或135 2 的度数是（ D. 不能确定 如下面推理正确的是（ A ．∵ A D 180°，∴ AD∥ BC B ．∵ C D 180°，∴ AB∥ CD C ．∵ A D 180°，∴ AB∥CD D ． A C 180°AB∥CD⑶ ）如图， 直线 A ．50 °a ∥b ，若∠ 1＝ 50°，则∠ 2＝ B ． 40°C ．150°D ．130°AB∥ 如图，直线 GEF 20°，则 CD ， 1的度数是（EF CD ， F 为垂足，如果 ） A ．20° B ．60° C ． 70°D ． 30°如图，直线 a （ 北京八中期中 ∥b ，点 B 在直线 b 上，且 AB BC ，1如图， 1和 2互补，那么图中平行的直线有（ A ． a∥bB ．c∥dC ． d∥e D ． c∥e（ 北京三帆中学期中 ）（北京 101 中期中 ）B D)（ 北京八十中期中 ）423（ 北京十三分期中2的度数是那么34 DA2 1 C2把解答过程补充完整） A 1D ） 北京市海淀区期末）D A ）P 第二级教师版C2C如果∠ 1＋∠ 3 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果如图，直线 （ 北京一六一中期中C ．3 B ．2 A ．1D ．4l2 Bl1⑴ D ； ⑵D ；⑶ C 1 64°，那么D , 请说明 1 2 ，请你完成下列填空 CD ， 1 l 1∥l 2 ， AB180°（等量代换） （同旁内角互补，两直线平行）1 2 （ （ 北京一六一中期中2 等于 ．2 43上）·第 1讲·基础 -提高-尖子班B⑷ D ；⑸ C ；⑹ 35°； ⑺D ；⑻ D ；⑼ 56°； ⑽52°如图， AB∥CD , B ∵ AB∥CD ， ∴ BAD D 180° ∵ B D ， ∴ BAD 5 180°，其中正确的个数（ 4 ⑼ ⑽ 解析】⑵ 90°；④ 4 （ 北京十三分期中 ）2 ；②34 ；例 2】 ⑴ 解 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①③2 1填空，完成下列说理过程 .如图， DP 平分 ADC 交 AB 于点 P ， DPC 90 ＝90°，那么∠ 2 和∠ 4相等吗？说明理由 . 解：∵ DP 平分 ADC ，∴∠ 3＝∠ （4∵ APB = °，且 DPC 90 ， ∴∠1＋∠ 2＝90°.又∵∠ 1＋∠ 3＝ 90°，∴∠2＝∠ 3. ( ) ∴∠2＝∠ 4.解：∵ DE∥ AC (∴ C ( 3( 又∵ DF∥AB ( ∴ B ( A (∴ A 3 ( ∴ A B C 1 )，)，) ) ) ) )2 3 BDC (E 在 AC 的延长线上，给出下列条件：2 ；②3 DCE ；⑤ ACD180°；⑦ AB CD .北京市朝阳区期末)⑶ 如图 , 已知 DE ∥ AC ，DF∥AB ，求 B C 度数．AC点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于 解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；⑵ 4 ，角平分线定义， 180，同角的余角相等 ⑶ 已知； 1 ；两直线平行，同位角相等； 直线平行，同位角相等；4 ；两直线平行，180°． B ； AD ∥ BC ；两直线平行，内错角相等 4 ；两直线平行，内错角相等；已知； 同位角相等；等量代换； 2 ；两180°；平角定义． 能力提升例 3】 ⑴如图，已知直线 AB∥CD ， C115°， 的度数为 度． A 25°，则E如图，不添加辅助线，请写出一个能判定 条件： .EB∥ AC的如图，点① ④4 ；③ A DCE ； A ABD 180°；5第二级（上）·第 1讲·基础 -提高-尖子班·教师版能说明 AC∥ BD 的条件有 .解析】 ⑴ ∵ AB∥CD ， C 115°（已知），∴ BFC 65 °（两直线平行，同旁内角互补） ∴ AFE BFC 65°（对顶角相等） ． ∵ A 25°（已知），∴ E 90°（三角形内角和） ．⑵ EBD ACB （ EBA BAC ）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A ．例 4】 已如图 1， CD 平分 ACB ， DE ∥BC ， AED求 EDC ．⑵ 已知： 如图 2， C1 ， 2 和 D 互余， BE FD 于G求证： AB∥CD ．（ 北京八中期中 ）图 1 图2解析】 ∵ DE ∥ BC∴ EDC DCB ， ACB AED 80∵CD 平分ACB∴ EDCDCB 1ACB 40⑵ 证明：∵ C1（已知）∴ BE∥CF （同位角相等，两直线平行） 又∵ BE FD （已知） ∴ CFD EGD 90 （两直线平行，同位角相等）∴ 2 BFD 90 （平角定义） 又∵ 2 D 90 （已知） ∴ BFD D （等量代换）∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行） 例5】 如图，已知： AB∥ CD ，直线 EF 分别交 AB 、CD 于点 M 、N ，MG 、 NH 分别平分 AME 、 CNE . 求证： MG ∥ NH ．从本题我能得到的结论是：已 1 2 G M 平分 HGB 交直线 CD 于点 M 则 3（ ）A ． 60°B ．65° C ． 70° D 130°⑷ 如图，直线 EF 分别与直线 AB 、 CD 相交于点 G 、BDB解析】∵ AB∥ CD ，∴ AME CNE 又∵ MG 、NH 分别平分AME 、CNE 11 ∴ GME AME CNM HNE ，∴ MG ∥ NH 22从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行 . 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直模型示例剖析a2 1b若a∥b ，则1 2a1 a b2 3 c若a∥ b∥ c，则 1 2， 1 3 180a2b 2 13若a∥b ，则1 2 3a b 1 3 2若a∥b ，则1 2 3 360例6】已知：如图AB∥CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ．解析】过点E作EF∥AB,∵ EF∥ AB, AB∥CD （已知）∴ EF∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）模块二基本模型中平行线的证明C D67第二级（上）·第 1讲·基础 -提高-尖子班·教师版∵ EF ∥ AB , （已知）∴ B BEF （两直线平行，内错角相等） ∵ EF∥CD , （已知）∴ D DEF （两直线平行，内错角相等） ∵ BED BEF DEF∴ BED B D （等量代换）3 ABC （对顶角相等）∴ ABC DCB 180o（等量代换）∴ AB∥ CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴ 1 4 （两直线平行，内错角相等） ∵ 1 2 ，（已知） ∴ 2 4 （等量代换）∴GE∥CM ，（同位角相等，两直线平行）∴ CME GEM 180o（两直线平行，同旁内角互补） ∵ CME: GEM 4:5 ，∴ CME 80o点评】通过辅助线将相关角联系起来能力提升例7】 如图，已知 AB∥DE ， ABC 80 ， CDE 140 ，求 BCD 的度数．解析】 过点 C 作CF ∥AB ．∵ AB∥DE 且 CF ∥ AB （已知）∴CF∥AB∥DE （平行于同一条直线的两直线平行） ∵ AB∥CF 且 ABC 80 （已知） ∴ BCF ABC 80 （两直线平行， ∵ DE∥CF 且 CDE 140 （已知） ∴ DCF 180 CDE 180 140∴ BCD BCF DCF 80 40 内错角相等） 40 （两直线平行，40例 8】探索创新解析】 如图，已知 CME:3 DCB 180o， 1 GEM 4:5 ，求 CME 的度数．2， 如图延长 ∵3 CM 交直线 AB 于点 N DCB 180o，（已知） 同旁内角互补）81和 2 不是被同一条直线所截判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（ ） 【解析】 ×题号班次1234 56 7 8基础班 √ √ √√√提高班 √ √ √√√ 尖子班√√√√√知识模块一 平行的定义、性质及判定 课后演练解析】 ∵1 C （已∴ MN ∥ BC （内错角两直线平∵2B （已知）， ∴ EF ∥ BC （同位角相等， 两直线平行）∴ ∥ EF （平行于同一条直线的两直线演练 2】 ⑴ 如图 1， AB∥CD ， AD AC ， ADC 32°，则 CAB 的度数是⑵ 如图 2，直线 l 与直线 a ， b 相交．若 a∥b ， 1 70°，则 2 的度数是判断对错：图中 1与 2 为同位角（ ）解析】 ×易忘记大前提“在同平面内” 演练 1】 已知如图， 1 C ， 2 B ， MN 与EF 平行吗？为什么？9第二级（上）·第 1讲·基础 -提高-尖子班·教师版⑶ 如图 3，直线 A ． 80° m∥n ，B ．9055°， 2 45°，则 C ． 100° 3的度数为（ D ． 110°解析】 ⑴ 122°； ⑵ 110演练 3】 ⑴ 根据右图在( ①∵ B CEF ∴ AB∥ CD ( ②∵ B BED ∴ AB∥ CD ( ③∵ B ）内填注理由：已知） 已知） ∴ AB∥ CDCEB 180°（已知）如图：已知 证明：∵ ∴（ ∴C 又∵ ∴A ∴（1 1 ∥ CBE ( A ( 解析】 ⑴2， A C ， （ ）（ 求证：①AB∥ ）） ） ）DC ② AD ∥（北京市东城区期末）BC）∥ 图1如图，∵ E 又∵ ∴AB∥CE3 （已知）， 1 （ （2（已知）E图3 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． 已知， AB ， CD ； 等量代换； AD ， 2； 3；对顶角相等； 演练 4】 ⑴ 已知： 如图 1， 内错角相等，两直线平行；两直线平行， 同位角相等，两直线平行． E ； 110 BC ； 1； D 等量代换； ， EFD 内错角相等； 已知； CBE ； 内错角相等，两直线平行． 70°， 1 2 ，求证： B ． 3 （北京三帆中学期中 ） 证明：∵ D ∴D ∴ AD ∥ 又∵ 110°， EFD EFD 180° ( 1 2 (已知)∥( ∥(70° 已知） C10∴ 3 B ( )⑵ 如图 2， EF ∥ AD ， 1 2 ， BAC 70°．将求 AGD 的过程填写完整． (北京四中期中 ) 解：∵ EF∥AD ，∴ 2 ( 又∵ 1 2 ∴ 1 3 ( ∴ AB ∥ ( ∴ BAC 180°(又∵ BAC 70° ∴ AGD ．) ) ) )解析】 ⑴ EF ；同旁内角互补，两直线平行； AD ； BC ；内错角相等，两直线平行； 平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等． ⑵ 3；两直线平行，同位角相等；等量代换； DG ；内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补； 110°． EF ； BC ； AGD ;演练 如图，已DA AB ， DE 平分 ADC ， CE 平分 BCD ， 1 2 90°，求证： BC AB ．解析】 ∵ DE 平分 ADC ， CE 平分 BCD ， 1 2 90°ADC BCD 180°，∴ AD∥ BC ，∴ DAB ABC 180DA AB ，∴ABC 90°，即 BC ABB ，试判断 AED 与 演练 6】 如图， 已知 1 2 180o，小关系，并对结论进行证明．ACB 的大2 180o， ∴ EF ， ∴ 3 B ，∴ B BC ，∴ AED 法二：延长 EF ，找 2 的同位角，证出 AB∥ 解析】 法一： ∵ 1 ∴ AB ∥ ∵3 ∴ DE ∥ 2 ADE ADE ACB DFEEF ，再找 3的内错角， 知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练 演练 7】 如图，已知 2 AB∥ CD ， ABF ABE ， CDF 2CDE3 3 则F :E 解析】 分 别过点 E ， F 做 AB 和 CD 的平行线， 易得： F: E 2:3 .演练 8】 已知：如图，点 E 为其内部任意一点，证出 DE∥ BC 即可．BED B D . 求证： AB∥CD .解析】如图过点E做EF∥AB, ∵ EF ∥ AB∴ B BEF , ∵ BEDBEF DEFB DEFBED B D ∴ DEF D∴ EF ∥CD 又∵ EF∥AB ∴ AB∥ CD11第二级（上）·第 1讲·基础 -提高-尖子班·教师版。