第2章 鸽巢原理
2.4 练习题
1、关于本节中的应用4，证明对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好
下完k 局棋（情形=k 21是在应用4中处理的情况）。

能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？
证明：设i a 表示在前i 天下棋的总数
若正好有i a =k ,则命题得证。

若不然,如下：
∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘
∴有 771≤≤i ，且132
17721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有k
k a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数：
k
a k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数，其中153
132≤+k 由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数
∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等
∴j i ,∃，使i a =k
a j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。

综上所述，对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。

□
当k =22时，132+k =154，那么以下154个整数
22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a
在1到154之间。

ⅰ）若这154个数都不相同
则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22
∵2222>+i a ，77
1≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ，77
1≤≤i
则在前i 天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。

ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数
∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等
∴j i ,∃，使i a =k
a j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。

综上所述，存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋。

□
5、证明，如果从{
}n 3,,2,1 中选择1+n 个整数，那么总存在两个整数，它们之间最多差2。

证明：把{
}n 3,,2,1 按顺序三个数字分为一组，共有n 组，它们是{}3,2,1，{}6,5,4，…，{}
n n n 3,13,23--由鸽巢原理，从n 组整数中，选择1+n 个整数，至少有两个整数属于同一组
且根据以上分组方式，这两个数之间最多相差2
即总存在两个整数，它们之间最多差2。

□
*7、证明，对任意给定的52个整数，存在其中的两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被1
00整除。

证明：任何一个整数的后两位，都是00，01，02，03，…,99之一
现在对所有整数按照后两位数的不同分组如下：
{}00，{}99,01，{}98,02，…，{}51,49，{}50，共有51个组。

由鸽巢原理，对于任意给定的52个整数，至少存在两个整数属于同一组。

属于同一组的两个数，要么后两位数相同，要么后两位数相加等于100
若这两个数后两位相同，那么这两者的差能被100整除；若这两个数后两位相加等于100，那么两者的和能被100整除。

□
11、一个学生有37天用来准备考试。

根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。

她还希望每
天至少学习1个小时。

证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。

证明：设i a 表示在前i 天学习的小时数。

∵有37天准备考试，每天至少学习1小时，总学习时间不超过60小时
∴有 371≤≤i ，且60
13721≤<<<≤a a a 我们还有：73
131313143721≤+<<+<+≤a a a 观察以下74个整数：
13
,,13,13,,,,37213721+++a a a a a a 每一个数是1到73之间的整数。

由鸽巢原理，这74个数中至少存在两个相等的数
∵3721,,,a a a 都不相等，13,,13,133721+++a a a 都不相等
∴j i ,∃，使i a =13
+j a 即这个学生在第1+j ，2+j ，…，i 天恰好总共学习了13个小时。

□
14、一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

如果我每分钟从袋子里取出1种水果，那
么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？
答：45分钟。

下面证明此结论：
最坏的情况是，拿了若干次之后，还是不能拿到1打相同的水果。

但是这个次数的极限是每种水果拿了11个，也就是总共拿了44次。

因为若拿到第45次时，必定有一种水果拿到了12个（1打）。

也就是说拿45次，肯定至少已拿出了1打相同种类的水果。

□
15、证明，对任意1+n 个整数1a ，2a ，…，1+n a 存在两个整数i a 和j a ，j i ≠，使得i a －j a 能够被n 整
除。

证明：任何一个整数被n 除的余数是以下n 个数之一
0，1，2，…, 1
-n
由鸽巢原理，对于任意1+n 个整数1a ，2a ，…，1+n a ，它们除以n 的余数至少有两个相同
不妨设这两个数为i a 和j a （j i ≠），i a －j a 能够被n 整除。

□
19、ⅰ）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。

证明：把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为4部分
每一部分都是边长为1/2的等边三角形
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/2
由鸽巢原理，任意选择5个点，至少有2个点属于同一个小三角形
即：在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。

□ⅱ）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离之多为1/3。

证明：把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为9部分
每一部分都是边长为1/3的等边三角形
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/3
由鸽巢原理，任意选择10个点，至少有2个点属于同一个小三角形
即：在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，
存在2个点，其间距离之多为1/2。

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ⅲ）确定一个整数n m ，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择n m 个点，则存在2个点，其间距离之多
为1/n 。

证明：由等边三角形分割成小等边三角形的变化规律：
1，4，9，16，25，…，2
n 可知：边长为1的等边三角形，可以分割为2n 个边长为1/n 的等边三角形。

边长为1/n 的等边三角形内部，相距最远的2个点距离为1/n
由鸽巢原理，任意选择12+=n m n 个点，至少有2个点属于同一个小三角形即：在边长为1的等边三角形内任意选择12+=n m n 个点，存在2个点，其间距离之多
为1/n 。

□。