第三章 能量原理
（习题解答）
3-1 写出下列弹性元件的应变能和余应变能的表达式。

（a ）等轴力杆；（b ）弯曲梁；（c ）纯剪矩形板。

解：（a ）等轴力杆
应变能 余应变能
其中L 为杆的长度，f 为杆的截面积，Δ为杆的变形量，E 为材料的弹性模量。

（b ）弯曲梁 应变能
余应变能 （c ）纯剪矩形板 应变能 余应变能
3-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能，应力—应变之间的关系式为 （a ） E σε= （b ）
σ=
解：取节点2进行受力分析，如图3-2a 所示。

根据平衡条件，有
13213113cos 45cos 45sin 45sin 45N N P N N P N N ︒︒︒︒
⎧+=⎨=+⎩⇒== （1）
311313
N N
f f σσ== （2）
（a ） E σε=时
3
1131
3
N N Ef Ef εε=
=
（3） 0
V
U AdV fl d εσε==⎰⎰ （4） 0
V
U BdV fl d σ
εσ*
==⎰⎰ （5）
联立（1）、（2）、（3）、（4），得到桁架的应变能为 联立（1）、（2）、（3）、（5），得到桁架的余应变能为
（b ）
σ=时
22
3113222213
N N E f E f εε== （6）
联立（1）、（2）、（4）、（6），得到桁架的应变能为 联立（1）、（2）、（5）、（6），得到桁架的应变能为 3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力—应变规律
其中E 、G 和μ是材料常数。

导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。

解：应变能密度 余应变能密度 总应变能密度 而
所以应变能密度为
3-4 试用虚位移原理或最小位能原理确定题3-4图所示平面桁架的节点o 的位置和各杆内力。

各杆材料相同，弹性常数为E 。

N P 4110=，N P 32105⨯=，各杆截面积215.1cm f =，222cm f =，233cm f =。

解：设o 点的位移为u 、v ，则各杆的变形量如下： o-1杆：)(2
2
sin cos 1v u v u +=+=∆θθ o-2杆：v =∆2
o-3杆：)(22
sin cos 3v u u +-=+-=∆θθ 系统位能 令0=∏δ，则0=∂∏∂u ，0=∂∏
∂v
，从而： 解得
由∆=
l
Ef
N ，得 3-5 试用最小位能原理导出承受均布载荷q 的弯曲等截面梁（图3-5）的平衡方程式。

解：由教科书例3-2知 悬臂梁的边界条件为：
在0x =处，0w =，0dw dx = 在x l =处，剪力0Q =，弯矩0M = 又知
dw
u z
dx
=-（直法线假设）
在x l =处，弯矩0M = 所以，当x l =时， 又知 所以
在x l =处，剪力0Q =
所以，当x l =时，330d w
dx
=
由以上，如果
则有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为
44d w
EJ q dx
-＝0
3-6 试用最小余能原理求解图3-6所示圆框的弯矩表达式，并给出弯矩图。

圆框的截面弯矩刚度为EJ 、sin P
q R
απ=。

解： 根据圆框的对称性可知，在图3-6a 的受力分析图中，只有轴力和弯矩，而无剪力。

取右半部分的一段进行受力分析如图3-6a 所示。

根据平衡条件，可得到弯矩表达式 余应变能 外力余能
故
根据最小余能原理
*0
0002
00
1
2
MRd M EJ
M N R PR π
αππ∂∏=⇒=∂⇒--=⎰
（1）
*0
00020(1cos )037
28
MRR d N EJ M N R PR π
ααππ∂∏=⇒-=∂⇒--=⎰ （2）
联立（1）、（2）解得
则圆框截面的弯矩为
3-7 试用瑞利—李兹法确定图3-7所示梁的点A 处横向挠度。

解：梁两端简支，其位移边界条件为
0202|0|0x x w d w dx ===⎧⎪⎨=⎪⎩， 2
2|0|0x L x L w d w
dx
===⎧⎪⎨=⎪⎩ 选取正弦函数为基函数，取前两项，则 梁的应变能为
梁的外力势能 梁的总位能
由最小位能原理 因此
当2
3
x L =时
3-8 沿直平面内的正方形薄板，边长为2a ，四边固定，只受重力g ρ作用，如图3-8所示。

设0μ=，试取位移分量的表达式为 用瑞利—李兹法或伽辽金法求解。

解：运用伽辽金法求解。

本题中的四边形薄板四边固支，因此是一个平面应力问题。

其基本方程为
()222222222222
1101221101221,2,3m m E u u v X u dxdy x y x y E v v u Y v dxdy y x x y m μμμμμμ⎡⎤
⎛⎫∂-∂+∂+++=⎢⎥ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫∂-∂+∂+++=⎢⎥ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦=⎰⎰⎰⎰L （1） 当只取1A 项和1B 项时，位移分量的表达式为
2222112242242222112
22222222211
2224
661,1221,133411,u y xy u x xy A A x a a y a a v y v x B B x a a y a a A u x y v xy
B x y a a a x y a ⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫
⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫
⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂=--= ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 因为0,0,X Y g μρ===，所以（1）式可简化为
222122222
1221102211022a
a
a a a a a a u u v E u dxdy x
y x y v v u E g v dxdy y x x y ρ----⎛⎫
∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫
∂∂∂+++=⎢⎥ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
⎰⎰⎰⎰ （3）
将11,u v ，及（2）式代入（3）式，得
即 简化为 由此解得
代入位移表达式，得 由物理方程，得
3-9 用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩，挠度函数选下列两种形式，比较其计算结果。

（a ）1()sin x
w x a l
π=
（b ）133()sin
sin
x
x
w x a a l l
ππ=+
解：双简支梁两端的位移边界条件是
在0x x l ==处，22
00d w
w dx
== 弯矩的表达式为
（a ）1()sin x
w x a l
π=时
梁的总位能
由最小位能原理0δ∏=有 所以挠度函数的表达式
最大挠度 最大弯矩
（b ）133()sin sin
x x
w x a a l l
ππ=+时 梁的总位能
由最小位能原理0δ∏=有 所以挠度函数的表达式
最大挠度 最大弯矩
3-10 用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度，挠度函数选下列各种形式，并比较两种计算所得的最大挠度。

（a ）2323()w x a x a x =+
（b ）()(1cos )2x
w x A l
π=-
解：悬臂梁的边界条件是
在x=0处，00dw
w dx
==
（a ）2323()w x a x a x =+时
梁的总位能
由最小位能原理0δ∏=有
232321
04603EJla EJl a ql a ∂∏=⇒+-=∂ （1） 2342331
061204EJl a EJl a ql a ∂∏=⇒+-=∂ （2） 联立（1）、（2）解得
所以挠度函数的表达式
最大挠度
（b ）()(1cos
)2x
w x A l
π=-时
梁的总位能
δ∏=有根据最小余能原理0
所以挠度函数的表达式
最大挠度。