探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线
OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. A
C
EO
D
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形
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3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
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4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理
过圆外一点，作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言：
∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB,OP平分∠APB.
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中， OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2） 由cm勾，股P定A=理4，cm得,
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2,
整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm.
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
【解析】设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和
BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
A
求AE,CD,BF的长.
xx
【解析】设AE=x，BF=y，CD=z, F
E
x+y=15,
x=9,
y
I.
z
则
y+z=8,解得 y=6, B y D z C
x+z=11,
z=2,
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
【跟踪训练】
1.如果PA=4cm,PD=2cm, 求半径OA的长.
4 x
x 2
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5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
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6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
△ABP，△AOB A
CD
EO
P
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的
.
切线长问题时，往往需
O
P
要我们构建基本图形. B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
【例题】
【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和
⊙O分别相切于点L，M，N，P，
C
求证：AD+BC=AB+CD.
A．2
B．3
C． 3
D．2 3
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1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
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2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
A
P
o
B
探切线究长定理
过如圆图外：一P点A，，P作B圆是的圆两O条的切两线条，切两线条，切A线,B长是相切等点，. 圆沿心OP与将这图一形点折的连叠线，平你分发两现条什切么线的？夹角.
发现：PA=PB, ∠APO= ∠BPO
请证明：PA=PB, ∠APO= ∠BPO
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切
A.60° C.120°
B.90° D.150°
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
A 16cm C 12cm
B 14cm D 8cm
AD
C
P
Eபைடு நூலகம்B
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ D ）
N
证明：由切线长定理得
D
AL=AP，LB=MB，NC=MC，
M O
DN=DP,
P
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NCA L
B
+DN,
即AD+BC=AB+CD，
补充：圆的外切四边形的两组对边
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于 点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF， BD，CE的长.
沪科版九年级下册数学
24.4.3 切线长定理
回顾旧知
1、直线与圆的位置关系有哪些？
2、切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
*例4. 点P为⊙O外一点，过点P作直线与⊙O 相切. A
P
o
B
过切圆线外与一切点线作长圆是的一切回线事，吗这？点它和们切有点什之么间区的别线与段联长系呢？ 叫做这点到圆的切线长.
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7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
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8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。