立体几何
考纲原文（三）立体几何初步
1.空间几何体
（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. （2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上述三视图
所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
（4）会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不做严格要求).
（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2.点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
• 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
• 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
• 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定
定理.
理解以下判定定理.
• 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
• 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
• 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
• 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明.
• 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
• 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
• 垂直于同一个平面的两条直线平行.
• 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
名师解读
对空间几何体的考查：
1．从考查题型来看，涉及本专题的题目一般以选择题、填空题的形式出现，考查空间几何体的三视
图的识别，空间几何体的表面积、体积的计算.
2．从考查内容来看，主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积、体积.重点在于空间几何体的表面积、体积计算公式的正确使用，难点是如何根据三视图确定空间几何体的结构特征. 3．从考查热点来看，空间几何体的表面积、体积问题是高考命题的热点，以空间几何体的三视图为
基准，识别该几何体，并计算其表面积、体积，通常情况下以计算体积为主，这是高考主要的考查方式.
对点、直线、平面之间的位置关系的考查：
1．从考查题型来看，涉及本专题的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直.
2．从考查内容来看，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂
直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中有关距离的问题.
3．从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性
质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要注意结合空间几何体的特征严格推理论证.
样题展示
考向一空间几何体的三视图和直观图
样题1 (2017年高考新课标Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12
C．14 D．16
【答案】B
样题2 （2017年高考北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
A．B．
C．D．2 【答案】B
样题3 （2017新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90πB．63π
C．42πD．36π
【答案】B
考向二球的组合体
样题4 （2017新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．πB．3π4
C ．
π2
D ．
π4
【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：
由题意可得：11,2
AC AB ==
，
结合勾股定理，底面半径r ==
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2
2
3ππ1π4V r h ==⨯⨯=⎝⎭
，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记
圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 .
【答案】
32
【解析】设球半径为r ，则
213223423
V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
样题6 （2017年新课标I 文科）已知三棱锥S −
ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S −
ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π
且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
考向三 空间线面的位置关系
样题7 （2017年新课标III 文科）在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则
A ．11A E DC ⊥
B ．1A E BD ⊥
C ．11A E BC ⊥
D ．1A
E AC ⊥
【答案】C
样题8 （2017新课标全国Ⅰ文科）如图，在四棱锥P −
ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= ．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，且四棱锥P −
ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积． 【解析】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．
考向四 空间角和距离
样题9 （2017年高考新课标Ⅱ卷）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，
11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为
A ． B
C ．
5
D ．
3
【答案】C
【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A BC D -，
则所求角为
1111
,
BC D BC BD C D AB
∠=====
易得222
11
C D BD BC
=+
，因此1
1
1
cos
5
BC
BC D
C D
∠===，故选C．
【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]
2
π
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
样题10 (2017年高考新课标Ⅲ卷) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③。