寿县一中2015-2016学年高二年级期末考试数学试题考试时间120分钟 满分150分（一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.己知集合M={x|x ＞1}，集合N={x|x 2-2x ＜0}，则M∩N 等于（ ）A.{x|1＜x ＜2}B.{x|0＜x ＜l}C.{x|0＜x ＜2}D.{x|x ＞2}2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 6+a 10=3，则下列各和数中可确定值的是（ ）A.S 6B.S 11C.S 12D.S 133.下列结论正确的是（ ）A.当x ＞0且x ≠1时，2lg 1lg ≥+x xB.当x ＞0时，xx 1+≥2. C.当x ≥2时，x+x 1的最小值为2. D.当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πx 时，f （x ）=sinx+xsin 4的最小值是4. 4.已知1tan 1tan -+αα=2，则cos2α=（ ） A.- 53 B.53 C.-54 D.54 5.为了得到函数y=cos （2x+3π），x ∈R 的图象，只需把函数y=cos2x 的图象（ ） A.向左平行移动6π个单位长度 B.向左平行移动3π个单位长度 C.向右平行移动3π个单位长度 D.向右平行移动6π个单位长度 6.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-0923063202y x y x y x ，则目标函数z=2x+5y 的最小值为（ ）A.-4B.6C.10D.177.在等比数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 6=10，5111621=+++a a a ，则a 1•a 2•…•a 6=（ ） A.2 B. 8 C.21 D.81 8.在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +ln （1+n 1），则a n =（ ） A.2+lnn B.2+（n-1）lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn 9.若直线x+y+a=0与半圆y= -21x -有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A.[1，2）B.[1，2]C.[ - 2，1]D.()1,2-10.已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点 D 、 E 分别是边 AB 、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使 DE =2 EF ，则的值为（ ） A.- 85B.81C.41D.811 11.已知一元二次不等式0)(≤x f 的解集为 }321{x ≥-≤x x 或，则0)(>x e f 的解集为（ ） （A ） {}3ln -ln2x x ><x 或 （B ） {}3ln 2ln x <<x （C ） {}3ln x x < （D ） }3ln 2ln |{<<-x x12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，令Tn=nS S S n +++ 21，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 502的“理想数”为2012，那么数列2，a 1，a 2，…，a 502的“理想数”为（ ）.A.2010B.2011C.2012D.2013二、填空题(本大题共5小题，共20分)13.不等式221x x -⎪⎭⎫⎝⎛＜log 381的解集为 ______ ． 14.在三棱锥C-ABD 中,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,若CD=2AB=4,EF ⊥AB,则EF 与CD 所成的角是________.15.函数y=182-+x x （x ＞1）的最小值是________. 16.已知奇函数f （x ）是定义在（-2，2）上的减函数，若f （m -1）+f （2m -1）＞0，则实数m 的取值范围是 _______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. （10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（1）求C ； （2）若c=7，△ABC 的面积为233，求△ABC 的周长．18.（12分） 已知向量a =（cosx ，sinx+3cosx)，b =（cosx -3sinx ，-sinx ），f （x ）=•． （1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）当x ∈[-π，π]时，求函数f （x ）的取值范围．19. （12分）已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA 1，F为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点．（1）求证：FM ∥平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1．20. （12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +2=2a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2n a 2log ，数列{11 n n b b }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜41.21. （12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2n-1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（-1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前n项和．22. （12分）已知f（x）是定义在[--1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有()()babfaf++＞0成立．（Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；（Ⅱ）解不等式：f（2x-1）＜f（1-3x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．数学答案ABBCA BBAAB CA 13.（-1，2） 14 6π15. 8 16. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,21 17. 解：（Ⅰ）化简得：2cosC （sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ，2cosCsin （A+B ）=sinC ， ∵sinC ≠0，sin （A+B ）=sinC ∴cosC=， ∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a 2+b 2-2ab•， ∴（a+b ）2-3ab=7， ∵S=absinC=ab=， ∴ab=6， ∴（a+b ）2-18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC 的周长为5+．18. 解：（1）向量=（cosx ，sinx+cosx ），=（cosx-sinx ，-sinx ）， f （x ）=•=cosxcosx-cosxsinx-sinxsinx-sinxcosx =cos2x-sin2x=-2sin （2x-）．由，k ∈Z ，解得，k ∈Z ． 函数f （x ）的单调递增区间，k ∈Z ；（2）x ∈[-，]，得：． f （x ）的取值范围：[，2]．19. 证明：（1）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN ．∵F 是BB 1的中点， ∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．又M 是线段AC 1的中点， 故MF ∥AN ．又MF ⊄平面ABCD 内，AN ⊂平面ABCD ， ∴MF ∥平面ABCD ．（2）连BD ，由直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1 ，可知A 1A ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ． 又∵AC ∩A 1A=A ，AC ，A 1A ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1． 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，∴四边形DANB 为平行四边形，故NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1， 又∵NA ⊂平面AFC 1， ∴平面AFC 1⊥ACC 1A 1．20. 解：（I ）由S n +2=2a n ， 当n=1时，a 1+2=2a 1，解得a 1=2；当n ≥2时，S n-1+2=2a n-1有a n =2a n -2a n-1，即a n =2a n-1，（Ⅱ）证明：由（I ）得b n =2log 22n =2n ， 所以T n =+++…+ =41[+++…+] =41[-+-+-+…+-] =41[1-]＜41． 21. ：（Ⅰ）记等差数列{a n }的公差为d ，S 5=5a 1+d=30， 又∵a 1=2， ∴d==2， ∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ∵T n =2n -1， ∴T n-1=2n-1-1（n ≥2），两式相减得：b n =2n-1， 又∵b 1=T 1=21-1=1满足上式， ∴数列{b n }的通项公式b n =2n-1； （Ⅱ）由（I ）可知a n b n =n•2n ，S n =2•=n （n+1），∴c n =（-1）n （a n b n +lnS n ）=n （-2）n +（-1）n [lnn+ln （n+1）]，记数列{（-1）n a n b n }的前n 项和为A n ，数列{（-1）n lnS n }的前n 项和为B n ，则A n =1•（-2）1+2•（-2）2+3•（-2）3+…+n•（-2）n ，-2A n =1•（-2）2+2•（-2）3+…+（n-1）•（-2）n +n•（-2）n+1，错位相减得：3A n =（-2）1+（-2）2+（-2）3+…+（-2）n -n•（-2）n+1=-n•（-2）n+1 =--•（-2）n+1， ∴A n =--•（-2）n+1； 当n 为偶数时，B n =-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…+[lnn+ln （n+1）] =ln （n+1）-ln1 =ln （n+1），当n 为奇数时，B n =-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…-[lnn+ln （n+1）] =-ln （n+1）-ln1 =-ln（n+1）；综上可知：B n=（-1）n ln（n+1），∴数列{c n}的前n项和A n+B n=（-1）n=ln（n+1）--•（-2）n+1．22. 解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]，∵f（x）为奇函数，∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=)()()(2 121x x xf xf-+-+•（x1-x2），…（2分）由已知得)()()(2 121x x xf xf-+-+＞0，x1-x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[-1，1]上单调递增．…（4分）（Ⅱ）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴…（6分）∴不等式的解集为．…（7分）（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[-1，1]上单调递增．∴在[-1，1]上，f（x）≤1．问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，对a∈[-1，1]恒成立．…（9分）下面来求m的取值范围．设g（a）=-2m•a+m2≥0．①若m=0，则g（a）=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立．②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0，对a∈[-1，1]恒成立，必须g（-1）≥0且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．综上，m=0 或m≤-2或m≥2…（12分）。