例1．
1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。

他们一共最多能比赛多少场？
解答：两组人数的乘积即为比赛场数，故最多比赛4×5=20（场） 2.直角三角形斜边长为10cm ，求这个直角三角形面积的最大值。

解答：设直角三角形三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边长，根据勾股定理有a 2+ b 2=c 2=100，则当a 2= b 2
=50
时，a 2× b 2
最大，为2500，所以面积a×b÷2最大为25.
3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？
解答：假设减去的正方形边长为x ，则拼成的长方体的容积为x （30-2x ）(30-2x).由于4x+30-2x+30-2x=60,则当4x=30-2x=60÷3=20时，容积最大，为20×20×20÷4=2000.
4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位数的乘积最大是多少？
解答：先讨论确定两个多位数应为一个四位数和一个五位数。

再确定各个数位上的数字，高位数字越大则乘积越大。

再补上一个0（放在个位，计算出乘积后去掉），根据平均值定理：两个数和一定时，这两个数越接近，乘积越大。

可以得出最大值为：96420×87531÷10＝843973902。

5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ 。

求算式IJ FGH DE ABC ⨯-⨯的计算结果的最大值。

解答：为使IJ FGH DE ABC ⨯-⨯尽可能大，则要DE ABC ⨯尽可能大，IJ FGH ⨯尽可能小，后面类似例1的第4题，可得到算式的最大值为2046893751⨯-⨯=60483。

例2．
1.如图。

用12⨯和13⨯两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？
解答：单块砖的面积越大，所用数量越少。

总面积为5×8=40，40÷3=13……1，故至少需要14块，构造如右图。

2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后（图中五角星）就把整个33⨯的棋盘控制了。

那么为了控制一个44⨯的棋盘至少要放几个皇后？
解答：4×4的棋盘两条对角线各有4个格，且没有重叠，一个皇后不可能同时控制这两条对角线，故至少需要2个皇后。

构造如下：
3.通过在表达式1÷2÷3中加括号，我们可以得到两个不同的值（1÷2）÷3＝
61和1÷（2÷3）＝2
3，现在表达式1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8中加上括号，问我们所能得到的最大值是多少？
解答：添加括号的效果是将其中的“÷”变成“×”，所以将其中的“÷”尽可能多的变成“×”可以使得结果最大，其中第一个“÷”无法改变，所以最大的结果为1÷2×3×4×5×6×7×8=10080，添加括号的方法如下：1÷（2÷3÷4÷5÷6÷7÷8）
4.把14分拆成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，使得到的积尽可能大，这个乘积是多少？请证明你的结论。

解答： 这个乘积是162.
（1）分拆出的自然数中，不应该有0和1. 否则，将1或0和某个分拆出的自然数相加，则有
11a a +>⨯,00a a +>⨯.
（2）如果分拆出的自然数中，有一个K ≥4，那么可以将K 再分拆成a 和b ，即K a b =+.由（1）
2, 2a b ≥≥，并且()()()1110a b K a b a b a b ⨯-=⨯-+=-⨯--≥.即：新的分拆出的自然数的乘积要大
于或等于原来分拆出的自然数的乘积.
（3）由（1）和（2），需要将14分拆为若干个2和若干个3的和，才能确保这些自然数的乘积最大.因为6＝2＋2＋2＝3＋3，3×3>2×2×2. 所以，当14＝2＋3＋3＋3＋3，3×3×3×3×2＝162.
5.在1，3，5，……99中选取k 个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？
解答：显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多，因此考虑选1，3，5，7，…，99中n 个连续奇数之和不超过1949.
由于1+3+5+…+（2n -1）=2
n 1949≤，得
2n 1949≤.
19491936442<=，19492025452>=.
如果选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，所以不可能选取44个奇数，使得它们的和为1949. 因为45个奇数的和不小于202589531=++++ 1949>，所以n 的最大值为43.
因为2025194976-=，且76是偶数，所以至少从1，3，5，…，89中删除两个奇数，并使它们的和为76. 如，去掉1，3，5，…，89中的两个奇数37和39，即选1，3，…，35，41，…，87，89. 易验证，135353940892025761949++++++++=-= .1+3+5+…+35+41+43+…+89=2025-(37+39)=2025-76=1949
6.A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 表示9个各不相同的不为零的自然数，这9个数排成一排，如果其中任何五个相邻的数之和都大于40，那么这9个数的和最小是多少？
解答：依题意有A+B+C+D+E ≥41，E+F+G+H+I ≥41
令S= A+B+C+D+E+F+G+H+I
则有S+E≥82，即2S-（A+B+C+D+F+G+H+I）≥82
整理得2S≥82+（A+B+C+D+F+G+H+I）
所以当A+B+C+D+F+G+H+I 最小且等号成立时，2S最小。

A+B+C+D+F+G+H+I≥1+2+3+4+5+6+7+8=36，故2S 最小为82+36=118，S最小为59。

此时E=59-36=23。

构造如下：。