4-3 隐函数的求导
例13 由方程 解
x sin y = cos( x + y )
，求 y ′(0, )
2
π
（x sin y )′x = (cos( x + y ))′x
sin y + x cos y ⋅ y ′ = − sin( x + y )(1 + y ′)
代入
x = 0和y =
π
2
得 y ′ = −2
y = sin u
u = 1+ x2
2 ′（ ′x y ′ = (sin u ) u 1 + x ）
= cosu × ( 2 x )
= 2 x cos(1 + x 2 )
例6 求 y = (1 − x 2 ) 5 的导数 解
y = u5
u = 1− x2
y ′ = ( u 5 ) ′（ − x 2 )′x = 5u 4 × ( − 2 x ) u 1
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4-1 求导公式与求导法则
即
(tan x ) ′ = sec
2
x
可类似推导出其它求导基本公式
′ = − csc2 x （cot x)
(secx)′ = secx tanx
1 y ′ cos y = 1，即y ′ = cos y
而 所以
cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2
y′ = 1 1− x2
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《高等数学》 高等数学》
教学课件
四川工程职业技术学院 数学教研室
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第四章 求导数的方法
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求导公式与求导法则 复合函数求导 隐函数求导 对数求导法
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4-1 求导公式与求导法则
可类似推导出其它求导基本公式
(log a x)′ = 1 x ln a
(sin x ) ′ = cos x (cos x ) ′ = − sin x
4-3 隐函数求导
由含有变量x和y的二元方程 F ( x, y ) = 0 所确定的函数 称为隐函数 隐函数。如： e 隐函数
xy
= x + y，x 2 + y 2 = 1
形如 y = f ( x ) 的函数叫显函数 显函数。 显函数
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y = (sin x ) 是由 y = u , u = sin x复合运算而成。
复合函数的求导法则
dy dy du ′ x = ⋅ 或 y ′ = y u .u ′ x dx du dx
语言表述：复合函数的导数等于外函数的 复合函数的导数等于外函数的 导数乘内函数的导数 ∆y ∆y ∆u = ，当 ∆x → 0, 有 ∆u → 0 因为
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4-1 求导公式与求导法则
例2 求 y = x 2 ln x 的导数。 解
y ′ = ( x 2 ln x)′ = ( x 2 )′ ln x + (ln x)′ x 2
1 2 = 2 x ln x + x = 2 x ln x + x x
例3 求 解
y = tan x 的导数。
sin x y = tan x = cos x ′ (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ sin x y′ = = cos x cos 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 = = = sec 2 x cos 2 x cos 2 x
π
+ sin
π
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4-2 复合函数的导数
第１章我们学了复合函数y=f[u(x)]，y=f(u)称为 外函数，u=u(x)称为内函数 内函数（中间变量）。 外函数 内函数 如： 2 2
= − 10 (1 − x 2 ) 4
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4-2 复合函数的导数
例7 求
y= 1 2 4 的导数。 x +x
解 将y看作复合函数 有 则
y = (x + x )
2
的导数值。
(sin x + x cos x)(1 + cos x) + x sin 2 x = (1 + cos x) 2 (1 + cos x)( x + sin x) x + sin x = = 2 (1 + cos x) 1 + cos x
当 x=
π
2
时
2 = π +1 ′= 2 y π 2 1 + cos 2
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4-3 隐函数求导
例14 求 解
变形 得
y = arcsin x 的导数。
π
2
利用隐函数求导法则：
sin y = x
(−
< y<
π
2
)
(sin y ) ′ = x ′
8 xy + y 3 y′ = − 3 xy 2 + 4 x
2
可见隐函数求导方法： 可见隐函数求导方法
方程F ( x, y ) = 0两边关于x求导。
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4-2 复合函数的导数
例8 求 解
u
y=2
sin 2 x
的导数。
y = 2 , u = v , v = sin x，这是三层复合：
2
（法则
′ ′ x y ′ = yu u v v′ x
）
y ′ = ( 2 u ) ′ ( v 2 ) ′v (sin x ) ′x u = ( 2 u ln 2 )( 2 v )(cos x ) = (2 =2
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4-1 求导公式与求导法则
例1 求函数 y = 1 − 2 sin x + 3e x 解 的导数
y ′ = (1 − 2 sin x + 3e x )′
sin 2 x
ln 2 )( 2 sin x ) cos x
sin 2 x
ln 2 ⋅ sin 2 x
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4-2 复合函数的导数
例9 求 y = sin 解 y ′ = (sin
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4-1 求导公式与求导法则
在第２章我们学习了导数的意义， 在第２章我们学习了导数的意义， 本章我们 将系统地学习求导数的公式、法则与方法。 将系统地学习求导数的公式、法则与方法。
= 1′ − 2 (sin x ) ′ + 3 ( e x ) ′ = − 2 cos x + 3 e x
再看积和商的求导法则 设u(x),v(x)都是x的可导函数，由导数定义易推出：
(uv)
′
= u ′v + uv′
′ u ′v − u v ′ u (v ≠ 0 ) = 2 v v
2 4
−1
y = u −1 , u = x 2 + x 4
y′ = (−u −2 )(2 x + 4 x 3 ) 2 x + 4 x3 =− 2 4 2 (x + x )
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如何求导数？
在第２章我们由导数的定义推出了： 在第２章我们由导数的定义推出了：
C ′ = （常数的导数等于0） 0
( x α ) ′ = α x α −1 （幂函数的导数公式）
(u + v ) ′ = u ′ + v ′（和的导数等于导数和 ） ( ku ) ′ = k (u ) ′ （常数因子可以提出去 ）