导数解答题归纳总结19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f 又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 20.（2009北京文）（本小题共14分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）()'233fx x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵()()()'230fx x a a =-≠,当0a <时，()'0fx >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()'0fx x a =⇒=±，当(),x a ∈-∞-时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(),x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x a =-是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点.21.（2009北京理）（本小题共13分） 设函数()(0)kxf x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）()()()()''1,01,00kx f x kx e f f =+==, 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）由()()'10kx fx kx e =+=，得()10x k k=-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-， 即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当11k-≥， 即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-.22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠ （1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.解: (1)由已知得2'()21f x ax bx =++,令0)('=x f ,得2210ax bx ++=,)(x f 要取得极值,方程2210ax bx ++=必须有解,所以△2440b a =->,即2b a >, 此时方程2210ax bx ++=的根为2212442b b a b b a x a a ------==,2222442b b a b b a x a a-+--+-==,所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时,x (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f ’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(x f 在x 1, x 2处分别取得极大值和极小值. 当0<a 时,x (-∞,x 2) x 2 (x 2,x 1) x 1 (x 1,+∞) f ’(x) － 0 ＋ 0 － f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(x f 在x 1, x 2处分别取得极大值和极小值. 综上,当b a ,满足2b a >时, )(x f 取得极值.(2)要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立, 所以max 1()22ax b x≥-- 设1()22ax g x x =--,2221()1'()222a x a a g x x x-=-+=, 令'()0g x =得1x a=或1x a =-(舍去),当1>a 时,101a <<,当1(0,)x a∈时'()0g x >,1()22ax g x x =--单调增函数; 当1(,1]x a∈时'()0g x <,1()22ax g x x =--单调减函数,所以当1x a=时,()g x 取得最大,最大值为1()g a a =-. 所以b a ≥-当01a <≤时,11a≥,此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立,所以1()22ax g x x =--在区间(0,1]上单调递增,当1x =时()g x 最大,最大值为1(1)2a g +=-,所以12a b +≥- 综上,当1>a 时, b a ≥-; 当01a <≤时, 12a b +≥-【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解析 （I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数； 当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。
综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。
（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
由假设知⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 1<a<6 故a 的取值范围是（1，6）23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q 的距离的最小值为2，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．解析 （1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a = m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x mf x x x x ==++， 设(),o o P x y ，则202020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+= 当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m（2）由()()120my f x kx k x x =-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->， 若0m >，11k m>-， 函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；若0m <，11k m<-， 函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=, 11k m=-, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当11k m >-(0m >)，或11k m<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11. 24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。