概率论与数理统计复习题一、 填空题1． 事件A 、B 、C 中至少有一个发生可用A 、B 、C 表示为C B A ⋃⋃ 2． 若事件A 、B 满足)()|(B P A B P =，则称A 、B __相互独立 3．则=)(X E 0.61.已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且A 与B 独立，则P(B)= 3/8 ;2.设A,B 是两个随机事件，P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A-B)= 0.4 ;3. 设事件A 与B 相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(A ∪B)= 0.7 ;4. 事件A 与B 满足P(A)=0.5,P(B)=0.6, P(B|A)=0.8,则P(A ∪B)= 0.7 ;5.袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 ；6.某射手每次击中目标的概率为0.28，今连续射击10次，其最可能击中的次数为 3 ; 8. 设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，当5121<<<x x 时，=<<)(21x X x P 412-x10. 设随机变量X 的概率分布为 则=≥)1(2XP 0.7 ；11.设随机变量X 服从二项分布B(n,p),且E(X)=15,D(X)=10,则n= 45 ; 14.设随机变量X ~N(1,4),,9332.0)5.1(,6915.0)5.0(==φφ则=>)2(X P 0.3753 ；15.已知总体X ~N(0，1)，n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，则21nii X=∑~)(2n χ16. 已知总体X ~n X X X N Λ,,),,(212σμ是来自总体X 的样本，要检验,:2020σσ=H 则采用的统计量为202)1(σS n -；17.设T 服从自由度为n 的t 分布，若,)(αλ=>T P 则=<)(λT P 21α-18.若θˆ是参数θ的无偏估计量，则有E(θˆ)=θ; 19. 若21ˆ,ˆθθ均为参数θ的无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则1ˆθ比2ˆθ 更有效 . 20.在假设检验中，显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率；第一类错误是指 弃真错误 ；21. 在假设检验中，把符合0H 的总体判为不符合0H 加以拒绝，这类错误称为 弃真错误 ；22. 在假设检验中，把不符合0H 的总体当成符合0H 的总体加以接受，这类错误称为 第二类取伪错误 ；25.若随机变量X 和Y 的数学期望分别为7.0)(,5.0)(==Y E X E ，则=+)32(Y X E 3.1二、 单项选择题.1.已知P(A)=p,P(B)=q,且A 与B 互斥，则A 与B 恰有一个发生的概率为（ A ）A. p+qB. 1-p+qC. 1+P+qD. P+q-2pq2.设A,B 是两个随即变量，若当B 发生时A 必发生，则定有（ B ） A. P(AB)=P(A) B. P （A+B ）=P(A) C. P(B|A)=1 D. P(B|A)=P(A)3.若A,B 之积为不可能事件，即φ=AB ，则A 与B （ B ） A. 独立 B. 互不相容 C. 对立 D. 相等4.设P(AB)=P(A)P(B),则A 与B( A )A. 独立B. 互不相容C. 对立D. 相等 5.设随机变量X 服从二项分布B(n,p),则=)()(X E X D （ B ） A. n B. 1-p C. P D.p-116.设随即变量X 服从正态分布),,(2σμN 其概率密度的最大值为（ D ）A. 0B. 1C. π21 D. 212)2(-πσ7. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 分别等于（ D ）A. 41,61==b aB. 125,121==b aC. 152,121==b a D. 31,41==b a 8. 已知总体X ~n X X X N Λ,,),,(212σμ是来自总体X 的样本，则样本均值X 所服从的分布为（ B ）A. N(0,1)B. ),(2nN σμ C. ),(2σμN D. ),(2σμn n N9.在总体中抽取容量为5的样本，其样本观察值为2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，则其样本均值为（ B ）A. 2.2B. 2.3C. 2.4D. 0.00110.设总体X ~22),,(σσμN 已知，先从总体中抽取容量为n 的样本，2S X 及分别为样本均值和样本方差，则αμ-1的置信度为的置信区间为（ D ）A.))1(,)1(22n S n t X n S n t X -+--αα（B.))1(,)1(22nSn u X nS n u X -+--αα（c.))1(,)1(22nn t X nn t X σσαα-+--（D.))1(,)1(22nn u X nn u X σσαα-+--（三、 计算题.一、在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。

（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=⨯⨯个。

（1）该数是奇数的可能个数为48344=⨯⨯个，所以出现奇数的概率为 48.010048= （2）该数大于330的可能个数为48454542=⨯+⨯+⨯，所以该数大于330的概率为48.010048=1. 设随机变量X 的概率密度函数为 ()，其它⎩⎨⎧<<=020)(x xx λϕ 求（1）常数λ （2）E(X) (3) P(1<X<3) 解：（1）根据λλ2)(12===⎰⎰+∞∞-dx x dx x f ，得到21=λ；（2）3421)(22==⎰dx x X E ； （3）4321}31{21==<<⎰xdx X P ； 2. 设随机变量X 的概率密度函数为 ()，其它⎩⎨⎧<<=010)(4x x x λϕ 求（1）常数λ （2） )21(>X P 解：（1）根据5)(114λλ===⎰⎰+∞∞-dx x dx x f ，得到5=λ；（2）32315}21{1214==>⎰dx x X P3. 设随机变量X 的概率密度函数为 ()，其它⎩⎨⎧≤≤+=010)(x bax x ϕ且E(X)=7/12, 求常数a,b解：由12)()(10=+=+=⎰⎰+∞∞-b adx b ax dx x ϕ①12723)()()(1=+=+==⎰⎰∞+∞-b a dx b ax x dx x x X E ϕ② 解得 21,1==b a . 4. 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。

他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。

设X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=他其100)(2x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}31{≤X P ；（3）求}2141{≤≤X P ；（4）求}32{>X P 。

解：（1）根据3)(112kdx kx dx x f ===⎰⎰+∞∞-，得到3=k ； （2）271313}31{33/102=⎪⎭⎫ ⎝⎛==≤⎰dx x X P ；（3）64741213}2141{332/14/12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==≤≤⎰dx x X P ；（4）27193213}32{313/22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==>⎰dx x X P 。

5. 一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ，“另一只也是红球”记为事件B 。

则事件A 的概率为65314232422)(=⨯+⨯⨯=A P （先红后白，先白后红，先红后红）所求概率为51653142)()()|(=⨯==A P AB P A B P6. 一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。

已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。

解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。

根据全概率公式有%1.12%4%90%85%10)|()()|()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ，所以，根据条件概率得到所要求的概率为%06.17%1.121%)851%(10)(1)|()()()()|(=--=-==A PB A P B P A P A B P A B P即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.7. 在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。

又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。

求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ，“一讯息是可信的”记为事件B 。

根据Bayes 公式，所要求的概率为%9947.99%1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(=⨯+⨯⨯=+==B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P 8. 计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。

已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。

则根据全概率公式有025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i N M P N P M P ，根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为24.0025.001.06.0)()|()()|(111=⨯==M P N M P N P M N P ，60.0025.005.03.0)()|()()|(222=⨯==M P N M P N P M N P ，16.0025.004.01.0)()|()()|(333=⨯==M P N M P N P M N P 。

9. 在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。