三角函数一、任意角1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。

{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α 的弧度数的绝对值公式：lrα= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad∴ 1︒＝rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3. 两个公式1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0π/6π/4π/3π/22π/3 3π/4 5π/6π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/411π/62π5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角 零角 负角正实数 零 负实数任意角的集合 实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry)(x,α（1）把比值r y叫做α的正弦 记作： ry =αsin （2）把比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos（3）把比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：r y=αsin R rx=αcos Rx y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα2. 三角函数的符号sin α为正 全正tan α为正 cos α为正3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°＝sin30° cos390°＝cos30°sin （－330°）＝sin30° cos （－330°）＝cos30° 诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4. 三角函数的集合表示：sin 1y yy MPr α====cos 1x xx OM r α====tan y MP ATAT x OM OAα====例1. 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2. 写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）例3. 用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{α|k⋅360︒<α<k⋅360︒+90︒，（k∈Z）}；第二象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为巩固练习1. 下列命题中正确的是（）A. 终边在y轴非负半轴上的角是直角B. 第二象限角一定是钝角C. 第四象限角一定是负角D. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2. 与120°角终边相同的角是（）A. －600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC. 120°＋（2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD. 660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是4. 角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．5. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.6. 确定下列各式的符号（1）sin100°·cos240°（2）sin5+tan5四、三角函数（一）三角函数的几何表示1、有向线段：规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。

有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线。

有向线段的数量：有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。

记为AB如图：AB ＝3，BC ＝2，CB ＝－22、三角函数线的定义：sin 1y yy MP r α====cos 1x xx OM r α====tan y MP AT AT x OM OAα====有向线段MP 、OM 、AT 都称为三角函数线 （二）同角三角函数的关系 1. 公式：1cos sin22=+αααααtan cos sin = 2. 采用定义证明： 1cos sin cos ,sin 122222=+∴===+ααααrx r y ry x 且Θοαααππαtan cos sin )(22==⨯=÷=∈+≠xyx r r y r x r y Z k k 时，当ο（三）诱导公式 1、诱导公式一：ααsin )360sin(=︒⋅+k ααcos )360cos(=︒⋅+kααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）用弧度制可写成απαsin )2sin(=+kαπαcos )2cos(=+kαπαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

2、诱导公式二： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）3、诱导公式三：αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）4、诱导公式四： 用弧度制可表示如下：ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）5、诱导公式五：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-） ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）6、诱导公式六：sin （90︒ -α） = cos α cos （90︒ -α） = sin α. tan （90︒ -α） = cot α cot （90︒ -α） = tan α. sec （90︒ -α） = csc α csc （90︒ -α） = sec α 7、诱导公式七：sin （90︒ +α） = cos α cos （90︒ +α） = -sin α. tan （90︒ +α） = -cot α cot （90︒ +α） = -tan α. sec （90︒ +α） = -csc α csc （90︒+α） = sec α例1. 确定角α为何值时，下面的式子有意义。

（1）cos αtan α（2）αtan 1例2. 已知178cos -=α，求sin α、tan α的值。

例5. 求下列各式的值： （1）sin （－34π）；（2）cos （－60º）－sin （－210º）巩固练习1. 已知sin α＋cos α＝231-，且0＜α＜π，则tan α的值为（ ） A. 33-B. 3-C.33D. 32. 54cos53cos 52cos5cosππππ+++= 。

3. 求下列三角函数值： （1）45sin π； （2）619cos π；（3）)240sin(︒-；（4）)1665cos(︒-五、三角函数的图象和性质（一）三角函数的周期性周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明： ①周期函数x 定义域M ，则必有x+T ∈ M②T 往往是多值的（如y=sinx 2π ,4π ,…,-2π ,-4π ,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。

③2sin()sin 33232sin()sin 6323x x x x x xππππππ=+≠=+=判断：（1）时则一定不是函数y=sinx 的周期。