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湖南大学课程考试试卷
课程名称: 概率统计A ;课程编码:GE03004 试卷编号: B ;考试时间:120分钟
一、 填空题(每小题3分,共21分)
1. 设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件:
1
,()()(),2ØABC P A P B P C ===<
9
(),16
P A B C =
且已知 则()P A =________________。
2. 设随机变量X 服从正态分布2
(,)(0),N μσσ>且二次方程2
40y y X ++=无实根的
概率为
1
2
,则μ=_____________。
3. 设随机变量X 服从二项分布(4,0.8)B ,Y 服从泊松分布(4)P ,已知() 3.6D X Y +=,则X 和Y 的相关系数XY ρ=________。
4. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别是-2和2,方差分别是1和4,而相关系数为-0.5,
根据切比雪夫不等式估计{6}P X Y +≥≤_____________。
5. 设总体X 服从正态分布2
(0,2)N ,而1215,,
,X X X 是来自总体X 的简单随机样本,
则随机变量22
110
22
11152()
X X Y X X ++=++所服从的分布为______________。
6. 设12,,
,n X X X 为取自总体),(~2σμN X 的样本,则22μσ+的矩估计量为
______________。
7. 设12(,,,)n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的样本,2σ未知,现要检验假设
00:H μμ=,则应选取的检验统计量是____________________,当0H 成立时,该统计量
服从______________分布。
二、 计算题(共51分)
1. (8分)设随机变量X 的密度函数为3(1),01,
()0,
Ax x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他,
求:(1)系数A ;(2)X 的分布函数;(3)1{}2
P X >。
2. (8分)设随机变量X 服从标准正态分布,求Y X =的概率密度函数。
3. (8分)2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合密度函数为
3
,01,,
(,)2
0,
x x y x f x y ⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 求:(1)X 与Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ;(2)X 与Y 是否相互独立?
4.(9分)设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为
111
{0},{1},{2}326
P X P X P X ======,求(1)Z X Y =+的分布律;
(2)max{,}U X Y =的分布律;
(3)min{,}W X Y =的分布律。
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5.(8分)已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布2
2
(0,2)(1,3)N N 和,且X 与Y 的相关系数为13XY ρ=
,设23
X Y Z =+,求(1)Z 的数学期望E (Z )与方差D (Z );(2)X 与Z 的相关系数XZ ρ。
6. (10分)设总体X 的概率分布为2
{1},{2}2(1),P X P X θθθ====-
2{3}(1)P X θ==-,其中1
(0)2
θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值:
3,1,3,2,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值。
三、 应用题(共28分) 1.(10分)1. 甲盒装有1个红球2个黑球,乙盒装有3个红球2个黑球,丙盒装有4个红球1个黑球。
现采取掷一骰子决定选盒,出现1、2或3点选甲盒,出现4或5点选乙盒,出现6点选丙盒,在选出的盒里随机摸一球,经过秘密选盒摸球后,宣
布摸得一红球,问此球最有可能来自那个盒子?
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2. (8分)某种清漆的5个样本,其干燥时间(单位:小时)分别为:6.0,5.8,5.5,6.3,6.4,设干燥时间总体服从正态分布2
(,)N μσ,求μ的置信度为0.95的置信区间。
3. (10分)食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准重量为500克,每隔一定时间需要检验机器的工作情况。
现抽25罐,测得其平均值为502克,根据以往的经验,标准差不变。
假设重量X 服从正态分布2
(,6.5)N μ,试问该机器工作是否正常?(显著性水平0.02α=)。