x h
ct h
转化为孤立波
孤立波的 波长和波周周期都趋于无这穷大
二、孤立波理论简介
孤立波理论是一种在传播过程中波形保持不变的推移波 理论，它的波面全部在静水面以上
波面方程η(静水面至波面距离)的一阶解
H sech2
3H 4h3
c
ct
c g(h H)
孤立波是一种推移波，水质点只朝波浪传播方向运动而不向 后运动。在波峰到来之前，离波峰x=10h处的水质点实际上尚未开 始运动，几乎处于静止状态。随着波峰到来，水质点作向上和向 前运动，在波峰通过时刻(x=0)，水平质点速度达到最大值，垂直 速度为0。在波峰通过以后，水质点开始下降，水平质点速度逐渐 缓慢下来，最后回复到原水质点深度位置上，但在水平方向水质 点却有一个净向前位移。因此，在波浪前进方向有一水体净输送
有限振幅波波面形状是波峰较陡、波谷较坦的非对称 曲线，这是由于非线性作用所致。
第三节、有限振幅斯托克斯波理论
非线性作用的重要程度取决于取决于3个特征比值； 波陡δ＝H/L 相对波高H/h (相对水深h/H,教材定义 ) 相对水深h/L (相对波长L/h)
在深水中，影响最大的特征比值是波陡δ＝H/L，δ 越大，非线性作用越大；
2
4 L
非线性影响项
斯托克斯2阶波波形与微幅波的比较: 波峰处，波面抬高, 因而变为尖陡； 波谷处，波面抬高，因而变得平坦。波峰波谷不再对称于 静水面。 随着波陡增大，峰谷不对称将加剧。
斯托克斯波不适于浅水情况,因为波面中的 二阶项与一阶项的比值趋于无穷大
H 2
coskx
t
H
8
H L
coshkh.cos2kh
u
x w
z
(流速场)
对于波陡较小的弱非线性问题，一个有效途径是采
用摄动法求解，假设速度势函数和波面曲线都是某一微 小参数ε的幂级数，即
nn 1 22 ... nn ...
n1
ε—摄动参数
nn 1 22 ... nn ...
n1
n=1 1
为1阶近似解(即线性解)
n=2 1 22 .
为2阶近似解
解的关键在于找出摄动参数ε和各阶解。
二、斯托克斯波的二阶解 斯托克斯波二阶解的势函数和波面
H
kT
coshkz h
sinhkh
sin( kx
t)
3 8
2H
kT
H L
cosh2kz h
sinh4kh sin 2(kx
t)
波陡δ＝H/L
关系
16
.K
2
L
2
.
H
3
h h
给定L、H和
h
求得κ
或L/h与H/h
波面形状
当模数κ→0 波面方程变为
K ( )
2
d
0
2
,
H coskx t
2
cnr, cos(r)
类似微幅波的浅水余弦波
当模数κ＝1时， K(κ)→∞，
cn(r,1) sech(r)
波面方程变为
H sech2
3H 4h
一、椭圆余弦波理论简介
椭圆余弦波1阶近似解的波面方程为
zs h
水底至波面的距离
zs
zt
Hcn
2
2
K
(
)
x L
t T
,
水底至波谷底距离
zt
h
H
16h3 3L2
K( )K( )
E( )
cn 为雅可比椭圆余弦函数，以2K(κ)为周期
K(κ)，E(κ) 为第1类和第2类完全椭圆积分
不同模数κ决定着不同的波面曲线形状, κ与波要素之间有如下
海 岸 动 力 学12
第一章 波浪理论
第一节、概述 第二节、微幅波理论 第三节、有限振幅斯托克斯波理论 第四节、浅水非线性波理论 第五节、各种波理论的适用范围 第六节、随机波理论简介
第一章 波浪理论
第三节、有限振幅斯托克斯波理论 实际海洋中，波高常达数米以至数十米，波面振幅
较大，微幅波理论的假设与实际不符 有限振幅斯托克斯波理论
sinh3 kh
2cos 2(kx
t)
H H coshLeabharlann h.cos2kh 28 L
sinh 3 kh
H
2
当 kh 0
三、斯托克斯波二阶解的质点速度、质点轨迹和质量输移
二阶斯托克斯波水质点速度
u
x
H
T
cosshinkhzkhh cos(kx
t)
3 4
2H
T
H L
cosh2kz h
sinh4kh cos 2(kx
t)
w
z
H
T
sinhkz h
sinhkh sin(kx
t)
3 4
2H
T
H L
sinh2kz h
sinh4kh sin 2(kx
t)
速度不对称 正向(向岸)历时变短,
波峰时水平速度增大， 负向(离岸)历时增长,
波谷时水平速度减小.
二阶斯托克斯波与微幅波另一个明显的差别是其 水质点的运动轨迹不封闭. 水质点运动一个周期后有 一净水平位移.
波浪非线性的主要特征有哪些? 波面 水质点速度 水质点的运动轨迹
第四节 浅水非线性波理论
水深很浅(例如h＜0.125L)时，斯托克斯波的高阶 项可能变得很大，因而不能适用，这时就应作为浅水 非线性波来研究。 椭圆余弦波理论是最主要浅水非线 性波理论之一。
在这一理论中波浪的各特性均以雅可比椭圆函数形 式给出，因此命名为椭圆余弦波理论。椭圆余弦波的 一个极限情况是当波长无穷大时，趋近于孤立波。当 振幅很小或 h/H很大时，得到另一个椭圆余弦波的极
非线性影响项
H 2
coskx
t
H
8
H L
coshkh.cos2kh
sinh3 kh
2
cos 2(kx
t)
斯托克斯二阶波的势函数和波面与线性波不同，增 加了一个二阶项，但波长和波速却仍与线性波相同。
深水情况下η的2阶解可化简为
H coskx t H H cos 2(kx t)
这种净水平位移造成一 种水平流动，称为漂流或 质量输移。
一个波周期内质点平 均漂流速度，称传质速度。
德(De，1955) 曾指出，斯托克斯波理论不能用于h/L
＜0.125的情况.
勒·
(Le Mehaute) 认为斯托克斯波不能用
于h/L＜0.1的情况。h/L的最小限值还与波陡δ＝H/L有
关。波陡越大，限值也越大，即适用水深范围越窄。
在浅水中最重要的参数是相对波高H/h ，相对波高愈 大，非线性作用愈大
一 斯托克斯波控制方程
斯托克斯波理论的基本假定与前面所述的波动假定一样， 波浪运动也是势运动.
2 0
0,
z
z=-h
t
z
1 2
x
2
z
2
z
g
0
0, z
t x x z
( x, z, t) ( x ct, z)