2010年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•广东）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分）（2010•广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1•z2=（）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z1=1+i，z2=3﹣i代入z1•z2，按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：z1•z2=（1+i）•（3﹣i）=1×3+1×1+（3﹣1）i=4+2i；故选A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x ﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．所以答案应选择D．【点评】此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．4．（5分）（2010•广东）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．5．（5分）（2010•广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性．关键看二者的相互推出性．【解答】解：由x2+x+m=0知，⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．6．（5分）（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】根据几何体的三视图的作法，结合图形的形状，直接判定选项即可．【解答】解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．7．（5分）（2010•广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意知本题是一个三角恒等变换，解题时注意观察式子的结构特点，根据同角的三角函数的关系，把7°的正弦变为83°的余弦，把53°的余弦变为37°的正弦，根据两角和的余弦公式逆用，得到特殊角的三角函数，得到结果．【解答】解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选：A．【点评】本题考查两角和与差的公式，是一个基础题，解题时有一个整理变化的过程，把式子化归我可以直接利用公式的形式是解题的关键，熟悉公式的结构是解题的依据．8．（5分）（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒【考点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式．【专题】排列组合．【分析】彩灯闪烁实际上有5个元素的一个全排列，每个闪烁时间为5秒共5×120秒，每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1），解出共用的事件．【解答】解：由题意知共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1）=595秒．那么需要的时间至少是600+595=1195秒．故选C【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．二、填空题（共7小题，满分30分）9．（5分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】对数的真数大于0，可得答案．【解答】解：由x﹣2＞0，得x＞2，所以函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题．10．（5分）（2010•广东）若向量，，，满足条件，则x=2．【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】空间向量及应用．【分析】先求出，再利用空间向量的数量积公式，建立方程，求出x【解答】解：，，解得x=2，故答案为2．【点评】本题考查了空间向量的基本运算，以及空间向量的数量积，属于基本运算．11．（5分）（2010•广东）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=1．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°，由正弦定理知，，即；由a＜b知，A＜B=60°，则A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，于是sinC=sin90°=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化记忆三角函数所涉及到的公式和性质，做到熟练应用．12．（5分）（2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是（x+2）2+y2=2．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】直线与圆．【分析】设出圆心，利用圆心到直线的距离等于半径，可解出圆心坐标，求出圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＜0），则，解得a=﹣2．圆的方程是（x+2）2+y2=2．故答案为：（x+2）2+y2=2．【点评】圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切；注意题目中圆O位于y轴左侧，容易疏忽出错．13．（5分）（2010•广东）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加S的值并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+2=6，s=×6=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2010•广东）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP=a．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】先由垂径定理可得直角三角形PAO，从而用a表示BP，再利用圆中线段相交弦关系得关于CP的等式，即可求得CP．【解答】解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，即，所以．故填：．【点评】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用，本题还考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理，属于基础题．15．（2010•广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】先将原极坐标方程ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标．【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（14分）（2010•广东）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在时取得最大值4．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，求sinα．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据T=可直接得到答案．（2）先根据最大值求出振幅A的值，再由时取得最大值可求出ρ的值，进而可得到函数f（x）的解析式．（3）根据，求出cos2α的值，最后根据二倍角公式得到sinα的值．【解答】解：（1）由周期计算公式，可得T=（2）由f（x）的最大值是4知，A=4，即sin（）=1∵0＜ρ＜π，∴∴，∴∴f（x）=4sin（3x+）（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=，，，，．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的基本性质﹣﹣周期和最值．属基础题．17．（12分）（2010•广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．【考点】频率分布直方图；组合及组合数公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；（2）Y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克，则有两件合格，有三件不合格，利用组合数计算出概率即可．【解答】解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为Y 0 1 2P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1﹣=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，属于基础题．18．（14分）（2010•广东）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足，．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，，，求平面BED与平面RQD 所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（1）要证明EB⊥FD，我们可以转化为证明EB⊥平面BDF，由，，我们易得△EBF为直角三角形，即EB⊥BF，又由E是半圆的中点，则其圆心角∠EBD=90°，结合线面垂直的判断定理和定义，不难给出结论．（2）要求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值，关键是要根据二面角的定义，先求出二面角的平面角，根据（1）的结论和已知我们可得DG⊥平面BDF，DG⊥DR，DG⊥DQ，即∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，解三角形RDB即可得到结论．【解答】（1）证明：连接CF，因为是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，所以EB⊥AC．在RT△BCE中，．在△BDF中，，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．在△CEF中，，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，而EB⊂平面BED，∴CF⊥EB．因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，而FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD．（2）解：设平面BED与平面RQD的交线为DG．由，，知QR∥EB．而EB⊂平面BDE，∴QR∥平面BDE，而平面BDE∩平面RQD=DG，∴QR∥DG∥EB．由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，而DR，DB⊂平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在Rt△BCF中，，，．在△BDR中，由知，，由余弦定理得，=由正弦定理得，，即，．故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，通过解∠RDB所在的三角形求得∠RDB．其解题过程为：作∠RDB→证∠RDB是二面角的平面角→计算∠RDB，简记为“作、证、算”．19．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．20．（14分）（2010•广东）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先确定直线A1P与A2Q的方程；再联立方程组解之（相乘处理）；最后利用点P（x1，y1）在双曲线上，消去参数x1、y1（整体消元）求出轨迹E的方程；（2）先由l1⊥l2设出两直线方程；再分别与椭圆方程联立，根据只有一个交点（即△=0）得出k、h的两个方程；最后解出h的值．【解答】解：（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，，则，，两式相乘得，因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以，即，所以，即，故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，．将l1：y=kx+h代入得，即（1+2k2）x2+4khx+2h2﹣2=0，若l1与椭圆相切，则△=16k2h2﹣4（1+2k2）（2h2﹣2）=0，即1+2k2=h2；同理若l2与椭圆相切，则．由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：[1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k2=h2，且，消去h2得，即k2=1，从而h2=1+2k2=3，即；[2]直线l1过点，而l2与椭圆相切，此时，，解得；[3]直线l2过点，而l1与椭圆相切，此时，1+2k2=h2，解得；[4]直线l1过点，而直线l2过点，此时，，∴．综上所述，h的值为．【点评】本题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系及点的轨迹方程求法；同时考查方程思想、运算能力等．21．（14分）（2010•广东）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．【考点】不等式的基本性质；点到直线的距离公式；轨迹方程．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）应用绝对值不等式的性质|a|+|b|≥|a+b|（2）假设符合条件的点存在，检验条件①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）与②ρ（A，C）=ρ（C，B）同时成立时，x，y的值是否存在．【解答】（1）证明：由绝对值不等式知，ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=ρ（A，B）当且仅当（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0时等号成立．（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0 （Ⅰ）由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x﹣x1|+|y﹣y1|=|x2﹣x|+|y2﹣y|（Ⅱ）因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，点C是线段AB的中点，即只有点满足条件；2°若x1≠x2且y1=y2，同理可得：只有AB的中点满足条件；3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，斜率为﹣1的直线夹在矩形AA1BB1之间的部分，其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，注意分类讨论的数学思想方法．。