【知识网络】《三角函数》应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{=+ k 360︒}(k ∈ Z )x 轴上角：{= k 180 }(k ∈ Z ) y 轴上角：{= 90 + k 180 }(k ∈ Z )3、第一象限角：{0 + k 360︒ << 90 + k 360︒}(k ∈ Z )第二象限角：{90 + k 360︒ << 180 + k 360︒}(k ∈ Z )第三象限角：{180 + k 360︒ << 270 + k 360︒}(k ∈ Z )第四象限角：{270 + k 360︒ << 360 + k 360︒}(k ∈ Z )4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：{0 + k 360︒ << 90 + k 360︒}(k ∈ Z )锐角：{0 << 90 }小于90 的角：{< 90 }5、若为第二象限角，那么 为第几象限角？2+ 2k ≤≤ + 2k+ k ≤ ≤ + k24 2 2弧长公式同角三角函数 的基本关系式诱导 公式应用计算与化简 证明恒等式应用任意角的概念角度制与 弧度制 任意角的 三角函数三角函数的 图像和性质应用已知三角函 数值求角和角公式应用倍角公式应用差角公式应用x 2 + y 2 , k = 0,≤≤ k = 1, 5 ≤≤34 2 42所以 在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：1︒ = 180 ≈ 0.017451 = 180︒ ≈ 57.30︒ = 57︒18'角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒90120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒ 弧度6432233 45 629、弧长与面积计算公式 弧长： l =⨯ R ；面积： S = 1 l ⨯ R =1⨯ R 2 ，注意：这里的均为弧度制.2 2二、任意角的三角函数 yxy 1、正弦： sin= ；余弦cos = r ；正切tan=rx其中( x , y ) 为角终边上任意点坐标， r = .2、三角函数值对应表：度0 30 45 60 90 120 135 150 180 270︒360 弧度6432233 45 63 22sin1 22 23 213 2 2 2 1 21cos 13 22 21 2- 1 2-2 2- 3 2-1 01tan3313无- 3-1- 3 30 无 0 ,y TPoAMx （Ⅰ）yT Mo AxP（Ⅲ）yoM AxP T（Ⅳ）3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全 s t c ”）sin tan cos第一象限：.x > 0, y > 0 第二象限：.x < 0, y > 0 第三象限：.x < 0, y < 0 第四象限：.x > 0, y < 0 sin α > 0,cos α > 0,tan α > 0, sin α >0,cosα < 0,tan α < 0, sin α < 0,cos α < 0,tan α > 0, sin α < 0,cos α > 0,tan α < 0,4、三角函数线设任意角的顶点在原点O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P (x , y ) ， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A (1, 0) 作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点 T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM = x , MP = y ，于是有sin= y = y = y = MP ， cos = x = x= x = OM r 1 r 1 ， tan = y = MP = AT= AT ．x OM OA我们就分别称有向线段 MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

y PA Mox （Ⅱ）T⎩ ⎩5、同角三角函数基本关系式sin 2+ cos 2= 1tan=sin⇒ tan cot = 1cos(sin + cos )2 = 1+ 2 s in cos(sin - cos )2 = 1- 2 s in cos( sin+ cos ， sin - cos ， sin • cos，三式之间可以互相表示)6、诱导公式n+口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是 2中整数 n 的奇偶性，把看作锐角)⎧ n ⎧ nn ⎪(-1)2 sin , n 为偶数 n ⎪(-1)2co s , n 为偶数sin( 2 +) = ⎨ n -1 ； co s( 2 +) = ⎨ . n +1 ⎪(-1) 2 co s , n 为奇数 ⎪(-1) 2sin , n 为奇数①.公式（一）：与+ 2k, (k ∈ Z )sin(+ 2k ) = sin； cos(+ 2k ) = cos； tan(+ 2k ) = tan②.公式（二）：与-sin (-) = -sin ； cos (-) = cos； tan (-) = - tan③.公式（三）：与+sin (+) = -sin； cos (+) = -cos ； tan (+) = tan ④.公式（四）：与- sin (-) = sin ； cos (-) = -cos； tan (-) = - tan⑤.公式（五）：与 +2sin ⎛+⎫ = cos ； cos ⎛+⎫ = -sin ；⎪ ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⑥.公式（六）：与 -2sin ⎛-⎫ = cos ； cos ⎛-⎫ = sin ；⎪ ⎪ ⎝ 2⎭⎝ 2⎭3 ⑦.公式（七）：与 +2sin ⎛ 3+⎫ = -cos ； cos ⎛ 3+⎫ = sin ；2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⑧.公式（八）：与⎝ ⎭3-21sin⎛3-⎫=-cos；cos⎛3-⎫=-sin；2 ⎪ 2 ⎪⎝⎭⎝⎭三、三角函数的图像与性质1、将函数y =sin x 的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数y =sin (x +)的图象；再将函数y = sin (x +)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y = sin (x +) 的图象；再将函数y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =A sin (x +)的图象。

2、函数y =A sin (x +)(A > 0,> 0)的性质：2①振幅：A ；②周期：T =；③频率：f=1=；④相位：x +；⑤初相：。

T 23、周期函数：一般地，对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x +T )=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.k4、⑴ y =A sin(x +) 对称轴：令x +=k+ ，得x =2+-2k-对称中心：x+=k，得 x=(k-∈Z ) ；，,0)(kk-⑵ y =A cos(x +) 对称轴：令x+=k，得x=；k对称中心：x+=k+⑶周期公式:，得x =2+-2 ，(k+-2 ,0)(k ∈Z ) ；2①函数y =A sin(x +) 及y =A c os(x +) 的周期T =(A、ω、为常数，且A≠0).②函数 y =A t an(x +)的周期T = (A、ω、为常数，且A≠0).5函数性质y = sin x y = cos x y = tan x图像定义域R R⎧⎫⎨x x ≠k+2, k ∈Z ⎬⎩⎭值域[-1,1] [-1,1] R最值当x= 2k+(k ∈Z )时，2ymax=1；当x= 2k-(k ∈Z )时，2ymin=-1．当x =2k(k ∈Z)时，ymax=1；当 x = 2k+(k ∈Z )时，y min=-1．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎡⎤在⎢⎣-2+2k,2+2k⎥⎦(k ∈Z)上是增函数；⎡3⎤在⎢⎣2+2k,2+2k⎥⎦(k ∈Z)上是减函数．在[-+ 2k,2k](k ∈Z )上是增函数；在[2k, 2k+](k ∈Z )上是减函数．⎛⎫在 k-, k+⎪⎝ 2 2 ⎭(k ∈Z )上是增函数．对称性对称中心(k, 0)(k ∈Z )对称轴x =k+(k ∈Z )2对称中心⎛k+0⎫(k ∈Z ), ⎪⎝ 2 ⎭对称轴 x =k(k ∈Z )⎛k⎫对称中心 , 0⎪(k ∈Z )⎝2 ⎭无对称轴6.五点法作y=A sin(x+)的简图，设t =x +，取0、再描点作图。

、、23、2来求相应x 的值以及对应的 y 值27.y =A sin(ωx +ϕ)的的图像8.函数的变换：（1）函数的平移变换①y =f (x) →y =f (x ±a)(a > 0) 将 y =f (x) 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位（左加右减）②y =f (x) →y =f (x) ±b(b > 0) 将 y =f (x) 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：1① y = f (x) →y = f (wx)(w > 0) 将 y = f (x) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（w > 1 缩短，w0 <w < 1伸长）② y = f (x) →y =Af (x)( A > 0) 将 y = f (x) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（A > 1 伸长，0 <A < 1缩短）（3）函数的对称变换：① y = f (x) →y = f (-x) ) 将 y = f (x) 图像绕y 轴翻折 180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② y = f (x) →y =-f (x) 将y = f (x) 图像绕x 轴翻折 180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③y = f (x) →y = f ( x )将 y = f (x) 图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④y =f (x) →y =f (x) 保留 y =f (x) 在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1 - cos a2 1 + cos a 2 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1） s in(+ ) = sin cos + s incos(2） s in(- ) = sin cos - s in cos(3） c os(+ ) = cos cos - sin sin(4） c os(- ) = cos cos + sin sin(5） t an(+ ) =(6） t an(- ) =tan + tan ⇒1 - tan tantan - tan ⇒1 + tan tantan + tan = tan (+ )(1- tan tan)tan - tan = tan (-)(1+ tantan)(7) a s in+ b c os = +) (其 中 ,辅 助 角 所 在 象 限 由 点(a , b ) 所 在 的 象 限 决 定 ,sin = = t an = ba ，该法也叫合一变形).(8)1+ tan1- tan tan( 4 +) 1- tan1+ tan tan( 4-)2. 二倍角公式（1） sin 2a = 2sin a cos a（2） cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 1 - 2sin 2 a = 2cos 2 a - 1（3） （3）tan 2a =2 tan a1 - tan2 a3. 降幂公式：cos 2 a =1 + cos 2a（1）2 4. 升幂公式（2）sin 2 a = 1 - cos 2a2（1）1+ cos = 2 cos 22（2）1- cos = 2 sin 22 （3）1± sin = (sin ± cos 2 2 （4）1 = s in 2+ cos 2（5） s in= 2 s in cos 2 25. 半角公式（符号的选择由 所在的象限确定）2（1） sin a= ± ，2（2） cos a= ± ，2a 2 +b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2= = 2)12 + ( 3)2 1 + cos a 2)（3） tan a = ± 2= sin a 1 + cos a = 1 - cos a sin a6. 万能公式: 2 tan1- tan 2（1） sin=2 , （2） cos= 2 , 1+ t an 2 2 2 t an（3） tan= 2 . 1- tan 221+ tan 227. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、 化简的方法技能。