-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
Page ▪ 5
5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
Page ▪ 33
33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
一定存 ， 在 a 使 唯 b 得 一实数
4.向量内积：
a与 b的夹角：
a
b=
a
b
cos〈a,
b〉
Page ▪ 2
rr r r r r
r
r
( 1 )a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2j x1x2iy1y2j
r (x1r x2,y1y2)
同 理 得 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
ax,y
结论1：两个向量和与差的坐标分别等于 这两个向量对应坐标的和与差.
结论2：实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘以原来向量的对应坐标.
a
b
ab
5 10
5
2， 2
又因为
0
〈a,
b 〉
π．
所以〈a,
b 〉
π．
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4
思考交流
a∥
b
因为
a∥
b
a∥Leabharlann ba∥by
b
a
o
x
例题：
例（11）向a量∥ab；(（x2,1）) ，ab与 b(4方, x向)相，同当？x 是何值时，
解
（1）a∥
b
x
•
x
4
1
0
x
2
，
r （2）当 x 2 时，a 与 b 方向相同.
结论3:
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段终点的坐标减去始点的坐标。
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27
已 A ( 3 , 知 2 ） ,B ( 5 , 1 ) 点 且 , A 1 A M ， B M 的 求 . 坐
解： M 的 设 坐 x ,y ,点 A 标 2 M 1 A 为 ， B
2
x ,y 3 , 2 1 5 , 1 3 , 2 4 ,1
r
在一(ax对1,轴实a上2数)的叫a坐1做,标向a2,量,a,使2叫ar 得做在a向平量面a直1ar i角在坐ya轴2标j上系的其x坐o中y标a中.1叫的做坐向标量 a
记作： a= a1,a2
以下三个特殊向量的坐标是：
i = i 0 j j = 0i j 0 = 0i 0 j
=(1,0) =(0,1)
3 1
方程思想
即B3,-1.
28
定理
在a直角(a坐1,标a平2 )，面bxoy(内b1，,eb12，)e，2 为则 x 轴，y 轴的基向量，
a
b
a1b1
a2b2．
问题
如果 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，你能求出 AB
的长度吗？
解：因为 A(x1，y1)，B(x2，y2 )，
则 AB (x2 x1，y2 y1)． 两点间距离公式 由向量的长度公式得：
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中点坐标公式
A
C
B
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30
例2 已知 A(2， 4)，B(2， 3)，求 AB 和AB中点． 解：由已知条件得 AB (2，3) (2， 4) (4，7)， 所以 AB (4)2 72 65．
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例3 已知 A(1，2)，B(3，4)，C(5，0). 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：因为 AB (3 1，4 2) (2，2)， AC (5 1，0 2) (4， 2)， BC (5 3，0 4) (2， 4)， AC 42 (2)2 20，
=(0,0)
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6
平面向r 量的坐标表示： 把 a =(a1,a2)叫做向量的坐标表示
向量的坐标表示实质上是向量的代数表示
由定义知：相等的向量对应的坐标相等.
Y
即：
r
r
a
如果a r
r(x1,
y1),b
(x2,
y2),
b
那么a b x1 x2,
j
且y1 y2
Page ▪ 7
O
X
i
7
向量的坐标与点的坐标关系 4
例2 判断下列向量是否平行
例3
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//
25
Page ▪ 26
26
已知 A (x1,y1),B (x2,y2)，求 AB 的坐标.
u u u r u u u r u u u r QA BO BO A
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
(x2,y2)(x1,y1)
(x2x1,y2y1)
BC 22 (4)2 20， 所以 AC BC ． 即△ABC是等腰三角形．
rrr 1.向量的坐标的概念: axiyj(x,y)
2.对向量坐标表示的理解:
如 a a 1 , a 2 b 果 b 1 , b 2 ， a b a 1 那 b 1 且 a 2 b 2 么
3.平面向量的坐标运算: (1) a (a1 , a2 ) b (b1 , b2 )
1
4/21/2020
动脑思考 探索新知
又| i |＝|j|＝1,所以
＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即
例2 判断下列向量是否垂直
例3
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21
例4 已知 a (3,1), b (1,2)
求 a b ，a ，b ，a，b .
解：由已知条件得
a b 31 (1) (2) 3 2 5，
a
a a
32 (1)2
10，
b
b b
12 (2)2
5．
因为co〈 s a,
b 〉
已知 a3,4,b1,2求：
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19
定理
xoy
x
a
(a1 ,
a2
)，b
(b1 ,
b2
)
，则
a b a1b1 a2b2．
y
两个向量的内积等 于它们对应坐标的
乘积的和
推论
两向量垂直的充要条件
向量内积的坐标 运算公式
a b a b 0 a1b1 a2b2 0．
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定理
xoy
xy
a
(a1 , a2
)，b
(b1 ,
b2
)，则
a
b
a1b1
a2b2．
问题
（2）若
a (a1 , a2 )
，你能求出
a
吗？
解：因为 a2 a a (a1，a2 ) (a1，a2 )
a12 a2 2．
所以 a a12 a22 ．
向量的长度公式
已知a 4,3,b (6,8)求：a b,a 2b
2
引入:
1.平面内建立了直角坐标系,
点A可以用什么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
r a
b
A(a,b)
O
a
x
Page ▪ 3
3
（一）平面向量4坐标的概念
3 A B A C C B 3 r i2j B
2
a
2j
-2
Page ▪ 4
1
A 3i
C
F
j
2
4
26 j
Oi
-1
3i
E
EF 用单位i,j向 如量 何表示？
(2,3)
3
a (2, 3)
2
A
1r
-4 -3 -2
-1 O -1
jr i
1
2
34
x
r
-2
rr
r
c 2i 3 j
c
ur d
ur r
r
d 2i 3 j
(2,3)
(2, 3)
例1.用向量 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.