2015年成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析一、选择题（6×10=60分）1. 已知等腰△ABC的面积为1，∠A=120，则△ABC内切圆的面积为（）A.√318π B.√354π C.√39π D.√327π解：过A作底边的垂线，垂足为D，连接圆心O与AB 边的切点E，连接BO设圆半径为rRt△ABD中，∠B=30°，S△ABD=(1/2)AD.BD=(1/2)AD.√3A D=1/2，∴AD2=1/√3在Rt△AEO中，∠EAO=60°，∴sin60°=EO/AO=√3/2，即r/(AD-r)=√3/2，∴r=√3AD/(2+√3)∴S○O=πr2=√3π7+4√3=(7−4√3)√3π49−16×3=(7√3−12)π此题四个选项都不正确。

2. 如图所示，两条对角线长为4和2的菱形绕中心旋转90°，可围成一个四角形（各边用实线标注），则该四角形的周长是____。

解：作如图所示的辅助线（红色）∵对角线长为2倍关系，∴E、F分别为AD、BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=AB/2，△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2在Rt△ADF中，(AC+CF)2=AD2+DF2，即(AC+AC/2)2=22+12解得AC=2√53，∴周长=8AC=16√533.已知x=√3+1，x4+4x2+2x+2=解：∵x=√3+1∴x2=2x+2∴x2+2x+2=2x2x4+4=x22+4=(2x+2)2+4=4(x2+2x+2)=4(x2+x2)=8x2∴原式=8x 22x2=44、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱长为A. 5B. 22C. 23D.4此题看不清原图，加之本人也未能完全参透，故未做。

5. 设x,y为实数，则代数式2x2+4xy+5y2-4x+2y-5的最小值是____解：原式=2x2+4xy+5y2-4x+2y-5=x2+4xy+4y2+x2-4x+y2+2y-5=(x+2y)2+ x2-4x+4+y2+2y+1-5-4-1=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2-10，恰好有解x=2,y=-1使得前三项都取得最小值0,故最小值为-106、已知x ≤y ≤z ≤w ≤6 ，则方程x+y+z+w=18的正整数解的个数为 A.5 B. 6 C.7 D.8分析：设那4个数都相等，则它们=4.5，∵w 最大，∴w ≥4.5，∴w 的值只能是5或6。

解：w=6 z=6 y=5,4,3 x=1,2,3z=5 y=5,4 x=3,4 z=4 y=4 x=4 w=5 z=5 y=5,4 x=3,4 ∴有8组解满足条件。

7、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，把1分拆成若干个不同的单位分数之和。

如：1=156113211101901721561421301111216121++++++++++++n m ，其中m n ≤。

设1x m ≤≤，1y n ≤≤，则21x y x +++的最小值为A. 232B. 52C. 87D. 343分析：注意观察1/2=1/(1×2)=1/1-1/2，1/6=1/(2×3)=1/2-1/3，1/12=1/(3×4)=1/3-1/4… ∴1=1-1/4+1/m+1/n+1/5-1/13，化简得1/m+1/n=1/13+1/20，∵m ≤n ，且都为正整数， ∴m=13，n=20(x+y+2)/(x+1)=1+(y+1)/(x+1)，当最小（y ≥1）即y=1时，x 最大（x ≤m ）即x=13时，(x+y+2)/(x+1)取得最小值，即为1+(1+1)/(1+13)=8/78. 若一个两位数的平方后的数的后两位恰好是这个两位数，这样的两位数有___个。

解：设该数为10x+y ，且x,y,a,b,c 均为0-9的整数，∴(10x+y)2=1000a+100b+10x+y ，化简得100x 2+20xy+y 2=1000a+100b+10x+y ①0-9这10个数字中平方后个位数字为这个数本身的有0,1,5,6.但明显0不符合本题的要求，故只需考虑y=1,5,6的情况，且x ≠0当y=1时，整理①得：10x 2+x=10(10a+b)，∴等式右边的个位数是0，而左边的个位数是x ，但已知x ≠0，∴y=1时，没有这样的两位数；当y=5时，整理①得：100(x 2+x)+25=1000a+100b+10x+5，∴等式左边十位数和个位数为25，即25=10x+5，∴y=5时，x=2，即这个两位数为：25当y=6时，整理①得：10x 2+11x+3=10(10a+b)，∴等式右边的个位数为0，即要求11x+3的个位数也是0，∴x=7，即y=6时，x=7，即这个两位数为：76 ∴只有2个这样的两位数，它们是25和769、设p 、q 为不相等的正整数，且关于x 的方程x 2-px+q=0和x 2-qx+p=0的根都是正整数，则|p-q|=分析：设两个方程的解分别为x1,x2,x3,x4，且它们都为正整数设p>q,则有x1+x2>x1*x2，容易知道只有x1,x2中必有一个数为1不等式才能成立， ∴p-q=x1+x2-x1*x2=1设p<q,则有x3+x4>x3*x4，同理可知x3,x4中必有一个数为1不等式才能成立， ∴q-p=x3+x4-x3*x4=1 综上可得|p-q|=110. 在正方形ABCD 所在平面上的直线L 满足下列条件：正方形ABCD 的四个顶点到直线L 的距离只取两个值，其中的一个值是另一个值的3倍，这样的直线L 的条数为 A.4 B.8 C.12 D.16解：与正方形任意一边平行的外面有2条、里面有1条这样的直线，∴（2+1）×4=12 与四边都相交的有4条这样的直线，∴共有12+4=16条二、填空题（本大题共4小题，每题7分，共28分）11. 在四边形ABCD 中，BC=8，CD=√19，AD=10，∠A=∠B=60°，则AB=_____ 解：反向延长AD 和BC 交于E 点，∵∠A=∠B=60°，∴△ABE 为正三角形，∠E=60° 过D 作EB 的垂线，垂足为F ，设EF=x ，则∠EDF=30°，DE=2x ，DF=√3x ，∴AE=10+2x=EB ，∴FC=BE-EF-CB=10+2x-x-8=2+x ，∴在Rt △DFC 中，CD 2=DF 2+FC 2，即19=3x 2+(2+x)2,整理得(2x-3)(2x+5)=0,故x=1.5，∴AB=AE=AD+DE=10+2x=10+3=13。

12、如右图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，而△ABE 、△ECF 、△FDA 的面积分别为2、3、4，那么△AEF 的面积为______ 解：设AB=a, BE=b 。

∵S △FDA =4=2S △ABE ，∴DF=2BE=2b ∴ab=4，(a-b)(a-2b)=6①把b=4/a 带入①整理后得a 2+32/a 2=18,可解得a 2=2(舍去)或16，∴S △AEF =S ABCD -S △ABE -S △ECF -S △FDA =a 2-2-3-4=713、函数24y x mx m =++的图像被x 轴所截的最大值为_______ 解：所截的值为|x1-x2|=√m 2−4m 4=√−4(m 2−18)2+116∴m 2=18时取得最大值√116=1414. 已知[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]=3.[3]=3，那么[√7+√11]=_____ 解：∵2<√7<3，3<√11<4∴5<√7+√11<7，∴[√7+√11]=5或6设√7+√11>6，即√11>6−√7，两边平方整理得：3√7>8， 即√63>√64，这显然不成立，∴√7+√11<6 [√7+√11]=5三、填空题（本大题共4小题，每题8分，共32分）15、已知1/3=0.3，即1/3=0.3+0.03+0.003……，等式两边同乘3.则有1=0.9+0.09+0.009……，也即1=0.9，借鉴上述操作，若有π26=112+122+132+142+⋯，那么112+132+152+172+⋯=____解：∵π26=112+122+132+142+⋯①，把它两边同时×122得到π222×6=122+142+162+182+⋯②，用①-②得3π24×6=112+132+152+172+⋯，∴112+132+152+172+⋯=π2816. 在四边形ABCD 中，∠DAC=98°，∠DBC=82°，∠BCD=70°，BC=AD ，则∠ACD=____ 解：延长CA 到E ，使AE=BD∵∠DAC=98°+∠DBC=82°=180° 又∵∠DAC+∠DAE=180°∴∠DBC=∠DAE ，又∵BC=AD ，AE=BD ∴△CBD ≌△DAE∴∠BDC=∠E=180°-∠DBC-∠BCD=28° △CBD ≌△DAE →DE=CD∴在△CDE 中，∠E=ECD=28°17. 方程√x −1x+√1−1x=x 的解为____解：根据题有x ≥0,x-1/x ≥0，1-1/x ≥0，∴解得x ≥1 把方程移项得：√x −1x=x −√1−1x，两边平方并整理得：x 2−x −2√x 2−x +1=0，变形得：(√x 2−x)2−2√x 2−x +1=0，∴(√x 2−x −1)2=0，∴√x 2−x =1解得x =1±√52，∵x ≥1，∴x =1+√5218、已知O 为△ABC 的外心，有AB=2，AC=4，则AO ·BC 的最小值为_______ 解：过O 作OE ⊥AB 于E 点，作OF ⊥AC 于F 点AO → ∙BC→ =AO → ∙(BA→ +AC→ )=AO → ∙BA→ +AO → ∙AC→ ≥−|AE→ |∙|BA→ |+|AF→ |∙|AC→ |∵AE=AB/2=2/2=1, AF=AC/2=4/2=2,带入上式得：-1×2+2×4=6四、解答题（本大题共2小题，19题14分，20题16分，共30分） 19、如图正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y=3x/4和y=-4x/3+25/3，D 、E 分别为OC 、AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，交点为Q（1）求证：Q 为△COP 的外心（2）求正方形OABC 的边长（3）当圆Q 与AB 相切时，求点P 的坐标（1）证明：∵D 、E 分别为OC 、AB 的中点，∴DQ 为Rt △COP 的中位线，∴Q 为斜边CP 的中点 ∴Q 为△COP 的外心（2）解：解方程组y=3x/4和y=-4x/3+25/3，得到它们的交点即A 点的坐标(4,3)∴OA=√42+32=5，∴正方形OABC 的边长为5.（3）∵AE 与○Q 相切于E ，OA 与○Q 相割于P∴AE 2=AP ×AO ，∴AP=5/4，∴OP=5-AP=5-5/4=15/4 设点P 的坐标为（x,3x/4）,则有 x 2+(3x/4)2=(15/4)2,解得x=3或-3(舍去)，∴y=3x/4=9/4 ∴点P 的坐标为（3,9/4） 20、若存在正常数L ，对某一函数图像上任意不同两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)，有不等式|y 1 -y 2|≤L|x 1-x 2|恒成立，则称该函数为李氏函数，L 为该函数的李氏系数。