第一步 ：简化为 5 次 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 y ( x x 1 ) y 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 y 2 2 y 3 ( x3 3 x 3 x 1 x 3 ) x3 x 3 y 3 3 y y 4 x 4 4 x 2 6 4 x 2 x 4 x 4 x 4 y 4 4 y 2 + 2 y 5 ( x5 5x3 10 x 10 x 1 5x 3 +x 5 ) x 5 x 5 y 5 +5y3 5y y 5 y 4 4y 3 + 3y 2 + 3y 1 = 0
x 6 1 = 0 一个生成根 e
2 i 6
i sin cos 600 i sin 600 3 3 1 3 = + i 2 2
cos
x 7 1 = 0 一个生成根 e
2πi 7
2 2 3600 3600 = cos i sin cos i sin 7 7 7 7 1 6
?
在 (1, 2) ， (1,3)， （ 1，） 4 ， （ 1，）对换下 5 它 共有5个不同的值， 因此 不能用它把5次降位4次。
Vandermonde“闪光”思想 ： 应该计算 V1 = （R1 R2 ２R4 ３R3 4 R５ )5 注意 R3 ，R4 调换了 位置 ！ 为什么 ？ 要点 1： R1， R 2， R 3，R 4， R 5 除了满足根和系数通常的关系 R1 +R 2 +R 3 +R 4 +R 5 = 1 R1R 2 +R1R 3 +R1R 4 + R1R 5 + R 2 R 3 +R 2 R 4 +R 2 R 5 + R 3 R 4 + R 3 R 5 + R 4 R 5 = 4
一般一元 3次 方程：S.Ferro 1515年，N.Fontana （Tartagalia) 1535年给出了准确的根式解
x 3 px 2 rx s 0 用 平移 x t t3 b t c 0 三个解 c c b ( ) 2 ( )3 + 2 2 3 c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3 1 3 i 2 1 3 i 2 c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3 c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3 p 3 化为
( 2cos )( 2cos ) = (2cos( ) ） （ 2cos( )) 22π cos cos( ) cos( ) 11 2π 4π R12 = R 2 +2 ：( 2cos )2 = (2cos )+2 11 11 2π 4π 6π 2π R1R 2 R 3 R1 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 2π 6π 8π 4π R1R 3 R 4 R 2 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 2π 8π 10π 6π R1R 4 R 5 R 3 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 2π 10π (22 10)π 8π R1R 5 R 5 R 4 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11 4π 8π R 2 2 = R 4 +2 ：( 2cos )2 = (2cos )+2 11 11 4π 6π 10π 2π R 2 R 3 R 5 R1 ：( 2cos ) ( 2cos )= (2cos ) (2cos ) 11 11 11 11
要点 2：变换 g : 1->2->4->3->5->1 保持根 R1， R 2， R 3，R 4， R 5 上述所有“隐藏的”特殊关系： R 12 = R 2 +2 R 1R 2 R 3 R 1 R 1R 3 R 4 R 2 R 1R 4 R 5 R 3 R 1R 5 R 5 R 4 R 2 2 = R 4 +2 R 2 R 3 R 5 R1 R 2 R 4 R 5 R 2 R 2 R 5 R 4 R 3 R 32 = R 5 +2 R 3R 4 R 4 R1 R 3R 5 R 3 R 2 R 4 2 = R 3 +2 R 4 R 5 R 2 R1 R 5 2 = R 1 +2 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 变为 R 2 2 = R 4 +2 R 2 R 4 R 5 R 2 R 2 R 5 R 3 R 4 R 2 R 3 R 1 R 5 R 2 R 1 R 1 R 3 R 4 2 = R 3 +2 R 4 R 5 R 1 R 2 R 4 R 3 R1 R 4 R 4 R 1 R 3 R 5 R 5 2 = R 1 +2 R 5 R 3 R 3 R 2 R 5 R 1 R 5 R 4 R 32 = R 5 +2 R 3R1 R 4 R 2 R 12 = R 2 +2
x11 1 = 0 有 10个根
2 i 11
rk = e
2πi k 11
, k = 1, 2,
,10
e
2 2 3600 3600 cos i sin cos i sin 11 11 11 11
x11 1 ( x 1) ( x10 x 9 x8 x 7 +x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) 0 x 1 0 , x10 x9 x8 x 7 +x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 0
它有 5 个根 R k = (e
2π k ， k = 1, 2, 3，， 4 5 11 2π 4π 6π 8π 10π R1 = 2cos ， R 2 = 2cos ， R 3 = 2cos ，R 4 = 2cos ， R 5 = 2cos 11 11 11 11 11 e
1 k<j<p 5

R k R jR p = 3
R1R 2 R 3 R 4 +R1R 2 R 3 R 5 R 1R 2 R 4 R 5 R 1R 3R 4 R 5 + R 2 R 3R 4 R 5 3 R 1R 2 R 3 R 4 R 5 1 之外，还满足“隐藏的”特殊关系：
t1 =
3

3

t2 =
1 3 i 2 1 3 i 2
3

c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3

3

t3 =
3

c c b ( ) 2 ( )3 2 2 3
3

注：在用上述根式公式时，注意化简。 例： 2 1+ 3 2+11 7 3 1 1 = + 2 = 2 + 1 2 7 3 1
2πi 9
)

1 3 +i 2 2
x10 1=0 一个生成根 e
2πi 10
=e
πi 5
= cos

5
i sin

5
= cos 360 i sin 360
1+ 5 10-2 5 = i 4 4 （用 cos 720 和 半角公式）
11 x 1=0 的根式解的方法 Vandermonde 求

2πi k 11
2πi k 11
) = 2cos
第二步 ： 令 e
2 i 5
,
5 ( e ) e 2 i 1
2 i 5 5
3 能否仿效 Langrange３次方程 的 (r1 r2 2 r3） , 计算
（R1 R2 ２R３ ３R４ 4 R５ )5
3
3
一般一元 4 次 方程： [1] L.Ferrari 1540 年左右 准确的根式解法。 [2] Decartes解法（1637年）更“结构化”：
x 4 bx 2 cx d ( x 2 px j ) ( x 2 px k ) y j +k 满足一个 3次方程： 第一步： 解三次 y 3 b y 2 4d y (4bd c 2 ) 0 得y1 , y2 , y3 第二步： 解二次 x
3
2πi 3
= cos
1 = + 2 x 4 1=0 一个生成根 e
2πi 4
=e =i 2 2 cos i sin = cos 72 0 i sin 72 0 5 5 =
πi 2
x 1=0 一个生成根 e
5
2πi 5
1 + 5 10+2 5 +i 2 4 （x 4 x 3 x 2 x 1 0 用 y x x 1 化为 2 次）
, ,
1+ 2 3+ 2 1- 2 3- 2
,
最简单 n 次方程
x 1=0 一个生成根 e
2 2πi 2
x n 1 = 0 的根式解
= e πi = 1 2π 2π + i sin cos120 0 i sin120 0 3 3 3 i 2
x 1=0 一个生成根 e
2
c yk 4 d
2
x x