余角和补角一、教学目标1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列方程)解决几何问题.3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。

二、教学重点及难点重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念.难点：余角和补角的性质.三、教学过程（一）创设情境，自然引入先观察如图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？A1 2O B再观察如图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？βαA O B（让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）（二）设问质疑，探究尝试教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt∠AOB重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？同样∠α+∠β与∠AOB重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB相等吗？通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念：1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°．2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．（三）归纳总结，概括知识1、试举出互余、互补角的例子．2、30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？(要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变)3、若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″．(在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便)35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″．(在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．)4、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC = Rt∠,OD是∠BOC内的一条射线。

图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。

C DA O B师生共同总结出：同角的余角相等．同理可推出：同角的补角相等再问：如果两个角相等，那么它们的余角和补角有什么关系？由此得到补角和余角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．注意：学生往往对“同角”、“等角”的认识不太清楚，在“同角”的情况时说“等角”，在“等角”的情况时说“同角”，因此要对学生强调指出：“等角是相等的角”，而“同角是同一个角”．另外，这个性质在目前的应用还不太多，但今后的应用是非常广泛的（四）精讲细练，巩固提高例1、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。

解：设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°．由题意，得 180 – x = 4( 90 – x ) ,解方程，得x= 60º答：这个角的度数为60°．例2、互为余角的两个角的差为15°，求：(1)较大角的补角的度数；(2)较小角的补角与较大角的补角的差.解：(1)设较大的角为x，则较小角为x-15，根据题意有：x+(x-15)=90°解得x＝52.5°∴180°-x＝127.5°(2)仍为15°例3、一个角的补角加上80°的余角后，等于这个角的余角的5倍。

求这个角的补角的度数。

分析：本题要认真审题，弄清各角数量间的关系，本题运用方程的思想，往往事半功倍。

解：设这个角为x0，则这个角的余角为90°－x0，补角为180°－x0。

根据题意有-︒=-︒x-+︒180x90))(580(90)180(:度解得x6565=︒=115︒-︒答：这个角的补角为115°.（五）发散思维，解决问题1．一个角的补角与这个角的余角的差是多少度。

2．一个角是它的补角的一半，求这个角的余角。

3.已知一个角的补角是它的余角的5倍，求这个角的度数.4．已知两角之比为7:3，它们的差为72°，求这两个角的度数.它们互补吗 ?5．甲、乙、丙三人同时从同一地点O出发，甲沿北偏东30°方向走了4千米到达A地，乙沿南偏西30°方向走了3千米到达B地，丙沿南偏东60°方向走了3千米到达C地. 取1cm 表示1千米，在纸上描出A、B、C三地的点.答案：1．90 °2．30°3.67.5°4．设其中一个角为7x，另一个角为3x7x-3x=72°解得：x＝18°∴7x＝126°，3x＝54°∴两角互补5．(如下图)（六）总结串联，纳入系统1、这例题是利用代数方法解决几何问题，关键是正确设出未知数，正确列出方程，求出未知数的值．在设未知数的过程中，可以有不只一种设法．2、注意题目中的隐含条件，若一个角为x时，它的余角为90-x，它的补角为180-x．3、在设未知数的过程中，要注意写单位，但在列方程时，可以不带单位．（七）布置作业，落实目标P139T6 T10四、教学检测(一)请你选一选。

1．一个角的余角和补角也互为补角，这个角的度数是( )。

A.90°B.75°C.45°D.15°2.若∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，则错误的是( )A.∠2＞∠1B.∠2＞∠3C.0°＜∠1＜90°D.∠1＞∠33.如下图,∠DOB为平角，∠AOC为直角，∠AOD=20°，则∠AOD的余角的补角是( )A.20°B.70°C.110°D.160°4．若∠α+∠β=90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是( )。

A.互余B.互补C.相等D.不确定5．如下图所示，O是直线AB上一点，∠BOC是直角，则∠COD的余角是( )。

A.∠BOCB.∠BODC.∠AOCD.∠AOD6.互为补角的两个角( )。

A.是一个锐角、一个钝角或两个都是直角。

B.都是钝角。

C.都是锐角。

D.一定是一个锐角，另一个是钝角。

（二）请你填一填。

1.互余的两个角的度数之比是2∶7，则这两个角的度数分别为和 .2.已知∠α的余角是36°28′，那么∠α= 。

3.4点整时钟上的时针与分针所夹的角是°。

4. 度角的余角比它的七分之二大9°.5.一个角的余角和它的补角之比是2∶5，则这个角是6．48°16′的补角是，72°39′16″的余角是。

7．一个角的补角是它的3倍，则这个角是 。

8．一个角比它的余角大15°，这角是 。

9．一个角等于它的补角的4倍，这个角的补角是 °.10．已知∠α的余角等于∠α的补角的41，则∠α= °。

（三）请你来思考。

1、某火车站的钟楼上装有一电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的刻度都装有一只小彩灯,晚上九点三十五分二十秒时,时针和分针所夹的角之内装有多少只小彩灯?2、如图，图1中有几个角，图2中有几个角，图3中有几个角，则n 条射线可构成几个角？图1 图2 图3答案：(一)请你选一选。

1.C2. D3. C 4．C 5.D 6.A（二）请你填一填。

1.20° 70°2.53°32′3.1204.63°5.30°6．131 °44′，17°20′44″7．45°8．52.5°9．36°10．60°（三）请你来思考。

1、122、3；6；10； 2)1( n n五、数学史话3根指挥棒和12个直角英国发明家瓦特（1736—1819）获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃为波士顿──瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，引起了许多旧贵族的不满。

据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。

”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子但是我可以用这样3根棒子组成12个直角，而你却不能做到。

”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角。

你能拼出12个直角吗？你自己先试试看。

下面我们一起来讨论一下：如果把图1中最下面的一根指挥棒向左平移，就摆成了6个直角（见图2）。

如果把图2中最下面的指挥棒往上平移，就可以摆出8个直角（见图3）。

这时候，我们会发现，在桌面无论怎样摆法，直角数都不会超过8个。

于是，我们可以得出结论：在桌面上，无法用3根指挥棒拼出12个直角。

图1图2 图3但是，瓦特并没有说“我能在桌面上拼出12个直角”！因此，我们应该离开桌面来讨论这个问题。

我们重新来考虑一下：如果把2根指挥棒十字交叉地放在桌面上，另一根指挥棒的一端摆在前2根指挥棒的交叉处并使这根棒与桌面垂直（如图4），这时拼出的直角也是8个。

如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面，紧挨着与桌面垂直的小棒向上方平移（如图5）。

那么，这时我们会发现，12个直角出现了。

图4 图5好了，现在问你另一个问题：我们知道，以3根火柴为边可以组成一个三角形。

那么，用6根火柴能组成4个三角形吗？。