目录课程说明 (2)使用说明 (3)第一讲基本运算问题 (4)第二讲方程与方程组 (14)第三讲一次函数与反比例函数 (24)第四讲二次函数 (35)第五讲不等式 (46)第六讲函数的综合应用 (58)第七讲三角形与四边形 (70)第八讲锐角三角函数 (79)第九讲圆 (79)第十讲高中数学常见的思想方法 (79)课程说明课程名称初高中数学衔接课程课程定位关注初高中数学教材编排特点；关注初高中学生的思维发展水平；总体课程目标通过本课程的学习，能够起到以下效果：一、弥补基础知识的不足，夯实学习高中数学的良好基础．二、训练运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力．三、初步掌握高中数学思想方法，形成良好的学习习惯．课程适用区域（省或直辖市）适用使用新课标教学的地区课程研发理念和思路高中数学难，难就难在初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在思维模式和学习方法上，都存在较大的差异，形成了一个“高台阶”．特别在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、常用方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求．《初高中数学衔接课程》旨在帮助即将进入高中的学生弥补知识储备的漏洞，掌握基本的数学思想方法，形成良好学习习惯，提振学习信心，闯过高中数学的第一道坎．主要内容编号课题课程容量第一讲基本运算问题120分钟第二讲方程与方程组120分钟第三讲一次函数与反比例函120分钟第四讲二次函数120分钟第五讲不等式120分钟第六讲函数的综合应用120分钟第七讲三角形与四边形120分钟第八讲锐角三角函数120分钟第九讲圆120分钟第十讲高中数学常见的思想方法120分钟使用说明本课程适合在即将学习高中数学课程的初中毕业生中使用．共分十讲，每讲安排有教学目标、重难点提示、基础知识梳理、主要方法归纳、典型例题精讲和课后巩固练习等栏目．无论在小组课还是一对一授课过程中，老师都可以进行二次开发，更需要根据学生的具体情况进行个性化处理，让我们共同成为精品课程的开发者．第10讲高中数学常见的思想方法教学内容方法一配方法我们知道，在数学运算中，a a =+0，a a =⨯1，即给任何一个数学式加上0或乘以1仍然等于这个数学式．这就告诉我们，对一个数学式进行加上0，或者乘以1的转换是等价转换．我们还知道，0=-b b ，)0(1≠=c cc，即0可以表示为任意一个数自身相减，1可以表示为任意一个不为零的数自身相除．于是有，b b a a -+=，)0(≠=c caca ．从形式上看，我们将数学式a 化为b b a -+或)0(≠c cac使数学式化繁了，但是，如果当这种“化繁”后能使问题更加明朗，并最终能化简问题，解决问题，那这种化繁是必要的．同时，正是因为我们习惯于化简，而是这种化繁的方法更具有技巧性．例如，设31=--c a c b ，则=--c b ba ． 将cb b a --化为cb c b c a ----)()(，代数式化繁了，但问题却已明朗了． 在处理数学问题的过程中，根据解题需要通过“配”与“凑”这种重要的等价转换手段，使问题趋于明朗，并顺利获解的解题方法，称为配凑法．运用配凑法的目的是使问题获解，因而合理的配凑应该能使我们更好地利用题设条件和已有的知识储备，更加接近我们所需要的结论．课时数量 2课时（120分钟）适用的学生水平☐优秀 ☐中等 ☐基础较差教学目标帮助学生初步把握常见的数学解题的通法，抓住配方法、换元法、待定系数法、图像法的本质，为科学有效地学习高中数学做准备．通过典型例题的分析，常规方法的总结，有限习题的训练，形成相对固定的解题思维链，获取解答无限同类问题的智慧．教学重点、难点 重点：理解数学方法的本质，有效运用所学方法解决问题 难点：方法的选择与灵活运用 建议教学方法讲练结合√很多情况下，我们需要将一个数学式配出一个完全平方式来，再利用完全平方式的性质找到已知和未知的联系，使问题得到解决．例如，我们研究函数xx x f 1)(+=在0>x 时的最小值． 当0>x 时，22)1(1)(22+-+=+=xx x x x f ＝2)1(2+-xx ≥2．∴当1=x 时，21=)(=)(min f x f ． 这里就是配凑出完全平方式后利用2)1(xx -≥0的性质得出结论的．这种将数学式配凑出完全平方式的方法，称为配方法．配方法是特殊的配凑法．配方法的基本依据是完全平方公式．常见的配方可以分成为下面两类： （1）形如ab a 22+的二次式的配方．很明显，在这种情形下，可以通过加上并且减去平方项2b ，把它配成一个完全平方与另一项的和（或差），即222222)(22b b a b b ab a ab a -+=-++=+．其实，一般一元二次三项式c bx ax ++2的配方就是这种类型的配方．.442]442[]2222[222222222a b ac a b x a a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++这种形式的配方应用比较广泛．在初中我们曾用此法导出一元二次方程c bx ax ++2＝0的求根公式．作二次函数=y c bx ax ++2的图象和求它的极值时，也都是这样进行配方的．（2）形如22b a +的二次式的配方．这个二次式是两个单项式的平方和，所以只要加上并且减去这两个单项式乘积的两倍，就可以把它配成一个完全平方与另一项的和（或差），即ab b a ab b ab a b a 2)(2222222-+=-++=+；或ab b a ab b ab a b a 2)(2222222+-=++-=+． 这种形式的配方，在解某些问题中也常要用到．方法二 图像法利用图像这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律，这种方法称为图像法．数形结合思想：是应用客观事物中数与形的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，①寻求解题的切入点②简化解题过程③转换命题④验证结论的正确与完整；数形结合的思想就是利用图形进行思维简缩，对选择、填空题的求解住住能大大简化思维过程，争取解题时间；数形结合往往借助：①函数与图像的对应关系②方程与曲线的对应关系③以几何元素，几何条件建立的概念。

④数与式的结构具有明显的几何意义方法三换元法把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．方法四 待定系数法为确定某一个数学式，可先给出一个符合题意的数学式的一般形式，然后根据所给的条件确定系数．这种方法我们称之为待定系数法．在求函数解析式中的运用在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化。

待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用 待定系数法在因式分解中的应用 在多项式除法中的应用［例1］已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____．【解析】 先转换为数学表达式，设长方体长、宽、高分别为x ,y ,z ，则6=++z y x ，211=++zx yz xy ． 而对角线长222z y x ++．将其配凑成两已知式的组合形式，得，x y z 222++＝)(2)(2zx yz xy z y x ++-++＝1162-＝5．［例2］计算20122014201320122012－201320141+++)(+【解析】 ∵ 12012－201320122013=))(+(∴20122014201320122012－201320141+++)(+20122014201320122012－201320142012－301320123013+++)(+))(+(=20122014201320122012－3013201230132014+++))(++(=2013=［例3］分解因式44+x【解析】44+x 2244－44x x x ++=2222－2)()+(=x x )++)(+(=x x x x 222－222)+)(++(=22－2222x x x x ．［例4］设方程022=++kx x 的两根为p 、q ，若(7)()(22≤+pq qp)成立，求k 的取值范围．【解析】 由韦达定理，有k q p -=+，2=⋅q p ，又 22)()(p q q p +＝244)(pq q p +＝()()p q p q pq 2222222+-＝()k 22484--≤7．1-b1-aPFD ACH E解得，－10≤k ≤10．又∵p 、q 为方程两实根，∴ Δ＝082≥-k∴ k 的取值范围为 －10≤k ≤－22或者22≤k ≤10．［例5］ 已知1010<<,<<b a ，求证22≥－1－1－1－122222222)(+)(++)(+)(+++b a b a b a b a ．【解析】 如图，作出边长为1 的正方形ABCD ，设AH ＝a ，AE ＝b ，EF ∥AD ，HG ∥AB ，则有22222222,(1),(1)(1),(1)PA a b PB a b PC a b PD b a =+=+-=-+-=+-AC ＝BD 2，在△APC 中，PA ＋PC ≥AC 2，………①在△BPD 中，PB ＋PD ≥BD 2，………② 由①＋②，得PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥22［例6］分解因式12-2122)++)(++(x x x x ．【解析】 设 t x x =+2，则12-2122)++)(++(x x x x ＝12-21)+)(+(t t＝01-32t t +＝))(+(2-5t t ＝)+)(++(2-522x x x x ＝)+)()(++(21-52x x x x ．［例7］已知三次方程06-116-23=+x x x 的一根是另一根的2倍，试解该方程．【解析】 设三次方程06-116-23=+x x x 的三根为a ，2a ，b ，则))()((=+b x a x a x x x x -2--6-116-23展开后比较系数，得1=a ，3=b ． 所以，方程的三根为1，2，3．1．化简30211+．2．求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域．3．当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 ．4．函数22)()(b x a x y -+-=（a 、b 为常数）的最小值为（ ）A ． 8B ．()a b -22 C ．a b 222+ D ．最小值不存在5．若α、β是方程0622=++-a ax x 的两实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）A ．－449 B ．8 C ．18 D ．不存在6．已知有理数x ,y ,z 满足21-+-+z y x ＝)(21z y x ++，那么3)(yz x -＝．7．已知x ,y ,z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值．8．已知x ，y ，z 都是正数，并且222222,x r x z z y x =-=+．求证：xy rz =．9．设实数x 、y 满足x 2＋2xy ＋y －1＝0，则x ＋y 的取值范围是． 10．用换元法分解因式2-12-2-)(+)+)(+(xy y x xy y x ． 11．因式分解7-813--222y x y xy x ++．12．当a 、b 为何值时，1-223++bx ax x 能被1-2x 整除．参考答案1．答案：65+ 2．答：[4,8] 3．答案：21-≥a 4．B 5．A6．解析：由21-+-+z y x ＝)(21z y x ++，得，01222112)1(12=+---++---++-z z y y x x ，即 0)12()11()1(222=--+--+-z y x ． ∴ x ＝1,y ＝2,z ＝3． ∴ 3)(yz x -＝3)61(-＝－125．7．解析： 由⎩⎨⎧=+-=-+)2(32)1(62 z y x z y x ，（1）－（2），1=-z y ，即 1-=y z ，代入（1），得5=+y x ． 于是 222z y x ++＝222)1()5(-++-y y y＝261232+-y y ＝14)2(32+-y ≥14． 所以 222z y x ++的最小值为14．8．提示：由式子222z y x =+,很容易联想到勾股定理;而222x r x z =-又会使人想起射影定理.于是作一个相应的直角三角形，（x,y 为直角边,z 为斜边,r 为斜边上的高)问题便很容易解决了.9．设t y x =+，则4343211222≥+)(=+=yy y t ， ∴ 23≥t 或23-≤t ，∴则x ＋y 的取值范围是)+∞,[∪]∞(2323,--． 10．设a y x =+，b xy =，则2-12-2-)(+)+)(+(xy y x xy y x＝2-12-2-)(+))((b a b a＝12-22-b 22+++a b ab a＝1-2-b)-2+)((b a a ＝21)-b -a (．初高中数学衔接课程 戴又发编11．7-813--222y x y xy x ++＝)++(7y -)(x 1-2y x ． 12．3=a ，3-=b ．。